Secundaria Electric Field - 1/8 of Sphere

[luiseduardo]

Original question:

[FONT=verdana]Calculate the intensity of the electric field (in the origin of cartesian axes) created by 1/8 of a certain sphere charged with density of charge equal σ.

[/FONT]

Google Translate:

Cálculo de la intensidad del campo eléctrico (en el origen de los ejes cartesianos) creado por 1/8 de una cierta esfera cargada con densidad de carga igual σ.

Answer:

$\frac{{\sigma \sqrt 3 }}{{16{\varepsilon _0}}}$

[arivasm]

Re: Electric Field - 1/8 of Sphere

Aclaro: he interpretado el enunciado como que se trata de una distribución volumétrica de carga. Sin embargo, a la vista del resultado escrito por Luis Eduardo no debería ser así: véanse los mensajes de Breogán y Al2000.

Lo más cómodo es emplear coordenadas esféricas, $\vec r=(x,y,z)=(r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta)$. Ten en cuenta que el elemento de volumen en esas coordenadas es $\dd V=r^2\sin\theta\,\dd r\,\dd\theta\dd\varphi$. El campo eléctrico que crea en el origen de coordenadas un elemento de carga $\dd q=\sigma\dd V$ situado en $\vec r$ es $\dst \dd\vec E=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\dd q}{r^3}\vec r$. El campo en el origen será $\vec E=\int \dd\vec E$, donde la integral se hace con los límites $r\in(0,R)$, $\theta\in(0,\pi/2)$, $\varphi\in(0,\pi/2)$.

El cálculo es un poco laborioso, pero no complicado. Para ayudarte te pondré un par de pasos intermedios:

$$\vec E=-\frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}(\sin^2\theta\cos\varphi,\sin^2\theta\sin\varphi,\cos\theta)\,\dd\theta\,\dd\varphi$$

$$\vec E=-\frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0}\,\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$$

Con este último resultado es inmediato llegar a la solución que te ponen.

[luiseduardo]

Re: Electric Field - 1/8 of Sphere

t thanks, mas but this problem is from a secondary school book. I have neber studied "coordenadas esféricas", so, do you or anyone know other way tô solve the problem...

[arivasm]

Re: Electric Field - 1/8 of Sphere

En primer lugar, quizá convenga aclarar a quienes lean este hilo que el nivel de secundaria que menciona Luis Eduardo no es precisamente el ordinario, sino que corresponde con un nivel especial que él está siguiendo (tipo olimpiada), que nos ha contado en algún mensaje.

Coordenadas esféricas, es en inglés "spherical coordinate system". Teniendo en cuenta el nivel de los problemas que planteas, te recomiendo su estudio, pues facilitan la solución de problemas como el que planteas en este hilo.

De todos modos, se puede hacer en coordenadas cartesianas. La primera diferencia está en que debes manejar $\vec r=(x,y,z)$ y $\dd V=\dd x\,\dd y\,\dd z$. La segunda estará en los límites de las tres integrales que tendrás que resolver (una por cada componente del vector $\vec E$). Si las haces en el orden de obtener primero la integral respecto de z, después respecto de y, por último respecto de x, los límites de integración serán $z\in(0,\sqrt{R^2-x^2-y^2})$, $y\in(0,\sqrt{R^2-x^2})$, $x\in(0,R)$.

Las integrales serán más complicadas que las que aparecen con coordenadas esféricas, pero deberás llegar al mismo vector (2) de mi mensaje anterior.

[Breogan]

Re: Electric Field - 1/8 of Sphere

Hola:

Puede ser que en realidad se trate de un cascaron esférico?, digo por el dibujo y por que $\sigma$ normalmente se usa para representar la densidad superficial de carga.
Ademas en el resultado puesto por arivasm:

(que no revise) no sobra R ?, respecto de la respuesta dada por luiseduardo.

Suerte

[Al2000]

Re: Electric Field - 1/8 of Sphere

No sé por que te fuiste por densidad volumétrica, pero en todo caso si deseas calcular el campo de la cáscara esférica mostrada, tendrías que usar el diferencial de área $dA = R^2 \, \mathrm {sen} \, \theta\, d \theta\, d \phi$ y, aprovechando la simetría del asunto, calcular una de las componentes del campo (digamos $\dst E_y$ por comodidad) de la manera

$$d E_y = - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {\sigma \cdot R^2 \, \mathrm {sen} \, \theta\, d \theta d \phi }{R^2} \cos \theta$$

$$\Rightarrow \quad E_y = - \frac \sigma {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2}\!\! \mathrm {sen} \, \theta \cos \theta \, d \theta d \phi = - \frac \sigma {16 \epsilon_0}$$

de donde se obtiene inmediatamente, ya que las tres componentes serán iguales por simetría, que $\dst E = \frac {\sqrt 3 \sigma }{16 \epsilon_0}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PS. Lamentando cabalgar el mensaje de Breogan, aclaro que mi mensaje respondía al de Antonio.

[arivasm]

Re: Electric Field - 1/8 of Sphere

Gracias a ambos. La R ciertamente era un error.

El cálculo lo hice volumétrico porque el enunciado habla de una esfera, que yo entendí maciza.

- - - Actualizado - - -

Acabo de darme cuenta de que si el enunciado se entiende de manera que $\sigma$ es la densidad volumétrica de carga, la R no estaría mal. De todos modos, como comenté en el primer mensaje la solución no es coherente dimensionalmente con esta interpretación, de manera que debe tratarse de un octavo de cascarón esférico.