1r ciclo Distribuccion no uniforme

[jssln]

A la hora de plantear este ejercicio, no se si puedo utilizar las formulas de uniforme porque no se, cuales se usas con una distibuccion no uniforme.

Una varilla delgada de vidreo tiene la forma de un semicirculo R. Posee una carga distribuida de manera no uniforme a lo largo de la varilla con una densidad lineal de carga dada por $\lambda={\lambda}^{ 0}\sin\theta$

a) dibujar la distibuccion de carga sobre la varilla con signos "+" y "-" mas o menos espaciados segun corresponda ¿Cuanto vale la carga sobre la varila?

b) DEtermine la aceleración instantanea (magnitud y dirección) de un electron colocado en el centro del circulo.

[oscarmuinhos]

Re: Distribuccion no uniforme

Hola
Y el enunciado no te pone una imagen para saber en que punto del semicírculo se empieza a medir el ángulo y también para representar sobre el semicírculo la densidad de carga?

[jssln]

Re: Distribuccion no uniforme


Esta es la imagen que me dan

[oscarmuinhos]

Re: Distribuccion no uniforme

La ecuaciones para una distribución no uniforme son las mismas que para una distribución uniforme. Lo que varía es el cálculo matemático a desarrollar.
Representación de la carga sobre el aro:
Aquí la carga sobre el aro semicircular te viene dado en función del seno de ese ángulo $\theta$ con el eje Ox. Este seno tiene un valor positivo desde $\dst \theta = 0$ a $\dst \theta =\pi/2$ radianes (desde 0º a 90º) y tiene un valor negativo desde $\theta = 0$ hasta $\dst \theta = -\pi/2$
Por otra parte, $sin \theta = 0$ en $\theta = 0$y $sin \theta = 1$ en $\theta = \pi/2$, es decir la densidad de carga positiva aumenta desde $\theta = 0$ a $\theta = \pi/2$. Esto quiere decir que, si has de representar la carga sobre ese aro utilizando signos + o - (según corresponda) has de poner estos signos crecientemente más cercanos a medida que $\theta$ se aproxima a $\dst \pi/2$. Idéntico razonamiento has de utilizar para los $\theta$ negativos.

Cálculo de la carga:
Este análisis previo ya te habrá permitido deducir que, por simetría, la carga neta de ese semiaro circular va a ser nula porque de 0º a 90º tendrá una carga positiva de idéntico valor absoluto pero de signo contrario que la carga que tiene el semiaro desde 0º hasta -90º.
Se puede calcular la carga de cada semiaro y comprobarlo.
Desde 0 a $\dst \pi/2$:
Si dividimos este semiaro en elementos de longitud $dl$, la carga de cada uno de estos elementos será: $\dst dQ = \lambda.dl = \lambda_0.sin \theta.dl$.

La carga total se obtendrá sumando la carga de cada uno de estos elementos, es decir integrando: $\dst Q = \int_L \lambda.dl = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\lambda_0.sin \theta.dl$
Para integrar, tendremos en cuenta que $dl = R.d\theta$, con lo cual,

$\dst Q = \int_L = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\lambda_0.sin \theta.R.d\theta = R.\lambda_0.[-cos \theta]_0^{\pi/2} = R.\lambda_0$

Desde 0 a $\dst -\pi/2$:
Con el mismo procedimiento, obtendrás que la carga tiene el mismo valor absoluto y signo contrario: $Q = -\lambda_0.R$


Cálculo de la fuerza sobre el electrón:
Para esto conviene empezar calculando el campo en el centro del semiaro circular y a continuación calcular la fuerza:$\dst \vec{F} = q.\vec{E}$


El campo electrostático creado por una partícula de carga Q viene dado por: $\dst \vec{E}=\frac{1}{4.\pi.\varepsilon }. \frac{Q}{r^2}.\vec{u}_r$
Si, al igual que se hizo para calcular la carga total, se divide el semiaro circular en elementos de longitud $dl$ el campo creado por cada uno de estos elementos en el centro del semiaro será.

$\dst \vec{dE}=\frac{1}{4.\pi.\varepsilon }. \frac{dQ}{r^2}.\vec{u}_r$

Para obtener el campo total habrá que sumar (teniendo en cuenta el carácter vectorial) el campo creado por cada uno de estos elementos que podemos considerar como partículas.
Por la simetría de este semiaro es fácil ver el campo solo va a tener componente vertical, porque las componentes horizontales de los elementos de carga positiva se anulan con las componentes del campo del elemento de carga negativa del elemento simétrico respecto del eje Ox. Además, las componentes verticales del campo de un elemento de carga positiva y del de un elemento de carga negativa tienen el mismo valor, la misma dirección y el mismo sentido. Con lo cual, llega con calcular la componente vertical del campo debido al semiaro positivo y multiplicar por dos.
Tomando ya unicamente la componente vertical del campo (que ya sabemos que tiene dirección vertical y sentido negativo):

$\dst dE_y = \frac{1}{4\pi.\varepsilon }.\frac{dQ}{r^2}.sin \theta = \frac{1}{4\pi.\varepsilon }.\frac{\lambda.dl}{r^2}.sin \theta= \frac{1}{4\pi.\varepsilon}.\frac{\lambda_0.sin\theta.R.d\theta}{R^2}.sin \theta$

Integrando des $\theta = 0$ hasta $\dst \theta = \pi/2$:

$\dst E = E_y = \int_0^{\pi/2}\frac{1}{4\pi.\varepsilon}.\frac{\lambda_0.sin\theta.R.d\theta}{R^2}.sin \theta = \frac{\lambda_0}{4\pi.\varepsilon.R}\int_0^{\pi/2}sin^2\theta.d\theta=\frac{\lambda_0}{16.\varepsilon.R}$

Multiplicando por 2 e introduciendo el carácter vectorial del campo:

$\dst E =- \frac{\lambda_0}{8.\varepsilon.R}.\vec{j}$

Lo que queda te será fácil

Saludos y ánimo