Otras carreras Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

[Piqueroide]

Buenas a todos.

En el segundo cuatrimestre del curso hemos empezado Fisica II en la cual nos hemos metido de lleno con el electromagnetismo. Sin embargo, antes de meternos con lo "heavy" hemos empezado camos eléctricos, diferencias de potencial y demás.

En concreto os traigo un problema de aplicacion de la ley de Gauss con el no estoy totalmente seguro de mis soluciones.

El problema en cuestion es este:



Mis dudas solo estan centradas en el apartado y b únicamente.

Decir que antes de meterme con el problema, he justificado el metodo de resolucion: a pesar de que la carga no se encuentra uniformemente distribuida en el cilindro de longitud infinita, debido a la alta simetria del problema, podemos aplicar la ley de Gauss para evaluar el campo eléctrico. Para ello considero superficies gaussianas cilindricas coaxiales a los cilindros (cilindro y coraza son coaxiales asi mismo) de radio r y longitud L. Debido a la simetría, las lineas de campo eléctrico se deben dirigir radialmente hacia afuera (perpendiculares al eje) y ser constantes en magnitud para todos los puntos de nuestra superficie gaussiana, llamando entonces Er a la componente radial del campo eléctrico y r(unitario) al vector unitario radial. El flujo eléctrico sera por tanto independiente del punto donde queramos hacer calculos siendo:

(Tras haber hecho la integral cerrada correspondiente y teniendo en cuenta lo anterior... -siento no poner simbolos pero es que los comandos de abajo no me aparecen reflejados aqui en el texto como tal -): Flujo= E*(2*pi*r*L) -Las lineas de campo eléctrico solo atraviesan las paredes del cilindro gaussiano, no sus "tapas"-

Además, el teorema de Gauss nos dice que el flujo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada viene dado por la carga encerrada por esta superficie entre la permitividad del vacio (llamaré a epsilon sub cero tal que así e)

Igualando ambas expresiones nos queda que E=Qencerrada/(2*pi*r*l*e)

Bien, como dije, esta es la justificacion que dará pie a todo lo que haré, ahora ataco los apartados a y b:

a) Considero una superficie gaussiana cilindrica de radio r y longitud l tal que se encuentre en el interior de nuestro conductor (es decir, entre R2 y R3). Como el conductor se encuentra en equilibrio electroestático, el campo eléctrico en su interior sera nulo E=0 y por tanto, nos lleva a decir que la carga encerrada en nuestra superficie Gaussiana deberá ser nula: Qencerrada=0 ---> Sabemos que la carga encerrada es: Qcilindro + Qsuperficie-interna-coraza ---> La superficie interna de la coraza entonces será -Q y por tanto la densidad de carga lineal de la superficie interna será -Lambda. Como la densidad de carga lineal neta de la coraza es -Lambda entonces la densidad de carga lineal de la superficie externa será nula. (Fin de este apartado, creo que esta bien, aún así, echarle un vistazo haber que opinais).

b) (Este apartado es el que... no me causa problemas en realidad, pero no estoy totalmente seguro de si está bien) Primero, considero una superficie gaussiana de radio r y longitud L tal que encierre tanto a la coraza como al cilindro, la carga encerrada será Q-Q= 0, luego el campo eléctrico para esta region E=0.

Luego, considero una superficie Gaussiana de radio r tal que se encuentre entre el cilindro y la coraza: la carga encerrada será Q=Qcilindro, siendo entonces el campo eléctrico: E=Qcilindro/(2*pi*r*L*e) donde la carga del cilindro es (lo demuestro posteriormente) Q=(pi*a*L*R1^4)/2 quedandome E=(a*R1^4)/(4*r*e)

Ahora viene lo divertido, la región interior a nuestro cilindro:

Considero una superficie gaussiana cilíndrica de longitud L y radio r tal que se encuentra en el interior de nuestro cilindro. Para determinar la carga encerrada por la superficie, considero elementos diferenciales de carga en los cuales la carga será uniforme ro=a*r'^2: dq=ro*dV donde el dV es el volumen de una coraza esférica de radio r', longitud L (el hecho de que el cilindro tenga longitud infinita me lia bastante) y espesor dr'

La carga encerrada en nuestra superficie será la suma de todos los elementos diferenciales de carga:

Qencerrada (r) = Integral desde 0 a r de (dq)= integral desde 0 a r de (a*r'^2*2*pi*r'*L*dr')

Integro y me sale Qencerrada(r)= (pi*a*L*r^4)/2

Siendo la carga total encerrada en el cilindro Qencerrada(R1)=(pi*a*L*R1^4)/2=Q

La carga en función de r se podría poner como: Qencerrada(r)= Q*(r^4/R1^4) sin embargo no elijo eliminar la constante, esto lo explico al final.

y el campo eléctrico finalmente sería: E=(a*r^3)/(2*e)

Y eso es todo...

Mi quebradero de cabeza esta en el hecho de que nonse si deberia eliminar la constante o no. Pero es que, si elimino la constante, aparece la longitud y eso no seria posible puesto que la longitud del cilindro es infinita.

Os agradecería de verdad que me echaseis una mano, el esfuerzo de escribir todo esto en vano no sería muy agradable la verdad.

Un saludo!

[Al2000]

Re: Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

...
a) Considero una superficie gaussiana cilindrica de radio r y longitud l tal que se encuentre en el interior de nuestro conductor (es decir, entre R2 y R3). Como el conductor se encuentra en equilibrio electroestático, el campo eléctrico en su interior sera nulo E=0 y por tanto, nos lleva a decir que la carga encerrada en nuestra superficie Gaussiana deberá ser nula: Qencerrada=0 ---> Sabemos que la carga encerrada es: Qcilindro + Qsuperficie-interna-coraza ---> La superficie interna de la coraza entonces será -Q y por tanto la densidad de carga lineal de la superficie interna será -Lambda. Como la densidad de carga lineal neta de la coraza es -Lambda entonces la densidad de carga lineal de la superficie externa será nula. (Fin de este apartado, creo que esta bien, aún así, echarle un vistazo haber que opinais).
...

Pues opino que estás equivocado. Si la carga encerrada es cero, entonces la carga en la superficie interna del cascarón será de igual magnitud y signo opuesto a la carga del cilindro, pero eso no te garantiza que la densidad sea $- \lambda$ para entonces concluir que la carga en la superficie externa sea cero.

Debes determinar la carga del cilindro, $\dst Q_\text {cil} = \int_{0}^{R_1}\!\! \rho \, dv = \int_{0}^{R_1}\!\! \left(a r^2\right)\left(2 \pi r L\,dr\right) = \frac 1 2 \pi a L R_1^4$, lo que te lleva a concluir que la densidad lineal de carga en la superficie interna de la cáscara es $\dst \lambda_i = -\frac 1 2 \pi a R_1^4$. Por lo cual finalmente concluyes que la densidad lineal de carga en la superficie externa vale $\dst \lambda_e = \frac 1 2 \pi a R_1^4 - \lambda$.

Una vez que tengas la correcta distribución de cargas, el cálculo del campo eléctrico en cada región es repetitivo, pues lo único que cambia en cada caso es la carga neta encerrada:

- Puntos interiores al cilindro $(0 \leqslant r \leqslant R_1)$: $\dst E \cdot 2 \pi r L = Q/\epsilon_0$, donde $\dst Q = \int_{0}^{r}\!\! \rho \, dv = \int_{0}^{r}\!\! \left(a r^2\right)\left(2 \pi r L\,dr\right) = \frac 1 2 \pi a L r^4$

- Puntos entre el cilindro y el cascarón $(R_1 \leqslant r \leqslant R_2)$: $\dst E \cdot 2 \pi r L = Q/\epsilon_0$, donde $\dst Q = \int_{0}^{R_1}\!\! \rho \, dv = \int_{0}^{R_1}\!\! \left(a r^2\right)\left(2 \pi r L\,dr\right) = \frac 1 2 \pi a L R_1^4$

- Puntos internos al cascarón $(R_2 < r < R_3)$: Ya anteriormente se justificó que vale cero.

- Puntos exteriores $(R_3 \leqslant r < \infty )$: $\dst E \cdot 2 \pi r L = Q/\epsilon_0$, donde $\dst Q = \lambda_e L$.

El resto es obtener las expresiones para el potencial, el cual espero sabrás calcular.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Piqueroide]

Re: Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

Totalmente de acuerdo contigo Al! Muchas gracias por aclararmelo

- - - Actualizado - - -

Al! O a cualquiera que me lea, tengo una ligera dudilla, esta vez hablando de una carga uniformemente repartida Q.

El problema es el siguiente:



Siguiendo la misma justificacion que en el anterior problema, sólo me basta conocer la correcta distribución de cargas para determinar el campo eléctrico. El campo eléctrico será E= (Qencerrada)/(2*pi*r*L*epsilon)

Para el apartado a), como ya se que la carga Q está uniformemente repartida Qcilindro=Q. Considero una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud L coaxial tal que cuyo radio se encuentre en el interior del conductor. Puesto que se encuentra en equilibrio electroestático, el campo eléctrico deberá ser 0 y por tanto Qencerrada=0. Puesto que la carga encerrada es: Qencerrada=Qcil+Qsuperficie-interna=0; Qsuperficie-interna=-Qcil=-Q. Y por ser la carga neta del conductor 0, Qsuperficie-externa=Q.

Esta es la distribución de cargas, ahora bien, para el apartado b) mi duda es que como en el enunciado no me indican que tipo de densidad de carga presenta, lo que yo he hecho ha sido suponer una densidad de carga volumetrica ro para el cilindro y, -lambda para la superficie interna (-Q) y lambda para la superficie externa (Q). NO SE SI ESTARA BIEN, ESPERO QUE ME CONFIRME ALGUIEN COMO SE PODRIA HACER.

El campo eléctrico entonces para cada región será:

r<=a Qencerrada=ro*V'=ro*(pi*r^2*L) --> E=(ro*r)/(2*epsilon);

a<=r<=b Qencerrada=Q=ro*V=ro*(pi*a^2*L) --> E=(2*ro*a^2)/(r*epsilon)

b<r<c ya se justifico que nulo. E=0

c<r Qencerrada=Qsuperficie-externa=Q --> E=(2*ke*lambda)/r

Gracias de antemano y saludos!

[Al2000]

Re: Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

Tu planteamiento es correcto. Toma en cuenta lo siguiente... dependiendo de cómo lo quieras interpretar, el enunciado del problema tiene un error o tiene una trampa. Si distribuyes una carga finita Q en un volumen (o longitud) infinito, la densidad de carga será cero y el campo será cero en todos los puntos.

A mi modo de ver, el enunciado es incorrecto y debería decir una de dos cosas: o bien que se tiene una densidad $\rho$ constante (en cuyo caso la carga total sería infinita) o que se trata de un cilindro de longitud L finita que se va a considerar que es muy grande comparada con el radio del cilindro (de modo que se pueda tratar aproximadamente como si fuese infinito).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Piqueroide]

Re: Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

Hola de nuevo! Retomando este problema con las indicaciones que me dio Al no tuve ningun problema para resolver los apartados a y b). Ahora el problema viene con el potencial eléctrico...

Para calcular el potencial eléctrico en cada región, el procedimiento que sigo yo siempre (teniendo en cuenta la relación entre potencial y campo eléctrico) es ir desde las regiones mas exteriores, a las mas interiores (puesto que se que el potencial en el infinito es 0).

Bien, lo que hice aqui es lo mismo, sin embargo, me esta dando problemas.

Para la region r>R3, conocía el campo y tenía además por referencia que el potencial en el infinito era nulo ---->

$V(r) - V(\infty) =$ Integro desde una distancia r (r>R3) hasta el infinito la expresión del campo para esa región: $E = \frac{{\lambda}_{e}}{2\pi{\varepsilon}_{0}r}$ Sin embargo, cuando integro eso me sale infinito, y no puedo obtener la expresión V(r).

Algun consejo?

[Al2000]

Re: Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

Para todas las distribuciones de carga consideradas de extensión infinita NO es posible considerar que el potencial en el infinito es cero. Puesto que el punto de cero potencial lo puedes escoger arbitrariamente, lo usual es elegir el punto de modo tal que las ecuaciones resulten lo mas simples posibles.

En el caso de un cilindro, lo usual es tomar $V(0) = 0$; en el caso de un filamento lo usual es tomar $V(1) = 0$. Estas elecciones permiten conseguir expresiones mas simples.

Si lo deseas, di que tu referencia es $V(r_0) = 0$ y procede en consecuencia. Después podrás elegir un valor conveniente de $r_0$ a la luz de las expresiones obtenidas.

Otra manera de hacer las cosas es resolver la integral indefinida del campo y ajustar luego las constantes de integración atendiendo a que el potencial resultante exista y sea continuo al pasar de una región a otra.

Saludos,

Al

[Piqueroide]

Re: Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

Osea, que en mi caso, deberia ir (para que yo me entienda) calculando el potencial "desde dentro hacia afuera (tomo como referencia V(0)=0" en vez de "desde fuera hacia adentro" como haría en un sistema de esferas?

[Al2000]

Re: Cilindro de longitud infinita rodeado por una coraza cilindrica conductora.

Seguro. Recuerda que el potencial como valor puntual no tiene ningún significado; lo que se define es la diferencia de potencial entre dos puntos y, por comodidad, elegimos uno de los puntos como referencia y hablamos de potencial en un punto, pero siempre manteniendo en el fondo que en verdad estamos hablando de una diferencia de potencial.

Saludos,

$\mathcal A \ell$