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Buenas de nuevo!
Ayer postee un problema en el cual, en vez de tener esferas, teniamos cilindros coaxiales. Como la verdad el ejercicio me salio un poco de aquella manera...
, me propuse hacer el siguiente problema el cual es similar basándome en las correciones que me hizo Al:
Bien, de nuevo decir que solamente me centro en los apartados a) b) y c), no hay ningun problema con el potencial eléctrico.
Antes de empezar cada problema, me gusta justificar antes el método de resolución, el cual para este la verdad no es corto, allá vamos:
A pesar de que la carga Q no se encuentra distribuida uniformemente en la esfera, debido a la alta simetría del problema podemos emplear la Ley de Gauss para evaluar el campo eléctrico. Para ello, consideraremos superficies gaussianas esféricas de radio r concéntricas a nuestra esfera dieléctrica y cascarón esférico conductor.
Teniendo en cuenta esta simetría esférica, las líneas de campo eléctrico se deben dirigir radialmente hacia afuera y ser constantes en magnitud para cualquier punto de la superficie gaussiana esférica considerada. Llamamos al campo eléctrico E = E*r(unitario) donde r es el vector unitario radial y E es la componente radial del vector campo eléctrico.
En lo que se refiere al cálculo del flujo de campo eléctrico, será independiente de la zona o punto en la cual queramos llevar a cabo cálculos, puesto que siempre consideraremos superficies gaussianas esféricas en las que la magnitud del campo eléctrico será uniforme y el producto E*dA podrá ser expresado algebraicamente por ser paralelos:
Flujo = E*(4*pi*r^2)
A parte, el teorema de Gauss nos dice que el flujo eléctrico neto que atraviesa cualquier superficie cerrada es igual a la carga eléctrica neta encerrada (Qin) por la superficie entre epsilon.
Igualando finalmente nos queda: E=Qin/(4*pi*epsilon*r^2)
Ahora simplemente nos queda por conocer la distribución de cargas para cada región para determinar el campo eléctrico, lo cual se irá determinando con el desarrollo de los apartados.
Ataquemos ahora cada apartado ------->
A) Primero necesito determinar la carga de la esfera: puesto que la carga Q no está uniformemente distribuida por la esfera dieléctrica, consideraré una superficie gaussiana esférica de radio r tal que r<R1 y dividiré la carga encerrada por la misma en infinitos elementos diferenciales de carga dq=ro*(dV) donde el dV es el volumen de una coraza esférica de radio r' y espesor dr' (ro(r')=a*r'^2).
La carga encerrada en nuestra superficie gaussiana para esa region será: Qin(r)= Integral desde 0 hasta r (ro*dV)=4/5*pi*a*r^5 con lo que la carga Q de la esfera es: Q=Qin(R1)=4/5*pi*a*R1^5
Ahora consideremos una superficie gaussiana de radio tal que R2<r<R3: Puesto que nos encontramos en el interior de un conductor en equilibrio electroestático, el campo eléctrico en su interior debe ser nulo E=0 y por tanto Qin=0 ----> Qin=Qesfera+Qsuperficie-interna-cascaron=0 ---> Qsuperficie-interna-cascaron=-Qesfera=-Q=-4/5*pi*a*R1^5
Como la carga neta del conductor es -Q ------> Qsuperficie-externa=4/5*pi*a*R1^5-Q
B) Como se acaba de demostrar, la carga total de la esfera viene dada por Q=4/5*pi*a*R1^5, si despejamos a ----> a=(5*Q)/(4*pi*R1^5) con lo que sus unidades serian C/m^5.
Esto es a la vista factible puesto que la densidad volumétrica viene dada por C/m^3 y en nuestro caso ro=a*r^2, que verifica lo anteriormente obtenido.
C) Una vez obtenidas en el apartado A la distribución de cargas, es facil determinar el campo eléctrico para cada región ---->
1. r<R1 ---> Qin=Qin(r)=Q*(r^5/R1^5) (esta expresion se obtiene considerando la carga de la esfera e introduciendola cancelando a en la de funcion del radio) ---> E=(Q*r^3)/(4*pi*epsilon*R1^5)
2. R1<r<R2 ----> Qin=Qesfera=Q ---> E=(Q)/(4*pi*epsilon*r^2)
3. R2<r<R3 -----> Qin=0 -------> E=0
4. r>R3 ------> Qin=Qsuperficie-externa-cascarón ----> E= (Qsuperficie-externa-cascarón)/(4*pi*epsilon*r^2) AQUI ES DONDE TENGO DUDA: Debo dejar Qsuperficie-externa-cascaron como tal? o expresarla según la expresion que obtuve en el apartado a?
Y eso sería la resolución de esos apartados!
Muchas gracias de antemano y espero que le echeis un ojo y me deis el visto bueno o busquemos entre todos pegas, un saludo!
Ayer postee un problema en el cual, en vez de tener esferas, teniamos cilindros coaxiales. Como la verdad el ejercicio me salio un poco de aquella manera...
, me propuse hacer el siguiente problema el cual es similar basándome en las correciones que me hizo Al:Bien, de nuevo decir que solamente me centro en los apartados a) b) y c), no hay ningun problema con el potencial eléctrico.
Antes de empezar cada problema, me gusta justificar antes el método de resolución, el cual para este la verdad no es corto, allá vamos:
A pesar de que la carga Q no se encuentra distribuida uniformemente en la esfera, debido a la alta simetría del problema podemos emplear la Ley de Gauss para evaluar el campo eléctrico. Para ello, consideraremos superficies gaussianas esféricas de radio r concéntricas a nuestra esfera dieléctrica y cascarón esférico conductor.
Teniendo en cuenta esta simetría esférica, las líneas de campo eléctrico se deben dirigir radialmente hacia afuera y ser constantes en magnitud para cualquier punto de la superficie gaussiana esférica considerada. Llamamos al campo eléctrico E = E*r(unitario) donde r es el vector unitario radial y E es la componente radial del vector campo eléctrico.
En lo que se refiere al cálculo del flujo de campo eléctrico, será independiente de la zona o punto en la cual queramos llevar a cabo cálculos, puesto que siempre consideraremos superficies gaussianas esféricas en las que la magnitud del campo eléctrico será uniforme y el producto E*dA podrá ser expresado algebraicamente por ser paralelos:
Flujo = E*(4*pi*r^2)
A parte, el teorema de Gauss nos dice que el flujo eléctrico neto que atraviesa cualquier superficie cerrada es igual a la carga eléctrica neta encerrada (Qin) por la superficie entre epsilon.
Igualando finalmente nos queda: E=Qin/(4*pi*epsilon*r^2)
Ahora simplemente nos queda por conocer la distribución de cargas para cada región para determinar el campo eléctrico, lo cual se irá determinando con el desarrollo de los apartados.
Ataquemos ahora cada apartado ------->
A) Primero necesito determinar la carga de la esfera: puesto que la carga Q no está uniformemente distribuida por la esfera dieléctrica, consideraré una superficie gaussiana esférica de radio r tal que r<R1 y dividiré la carga encerrada por la misma en infinitos elementos diferenciales de carga dq=ro*(dV) donde el dV es el volumen de una coraza esférica de radio r' y espesor dr' (ro(r')=a*r'^2).
La carga encerrada en nuestra superficie gaussiana para esa region será: Qin(r)= Integral desde 0 hasta r (ro*dV)=4/5*pi*a*r^5 con lo que la carga Q de la esfera es: Q=Qin(R1)=4/5*pi*a*R1^5
Ahora consideremos una superficie gaussiana de radio tal que R2<r<R3: Puesto que nos encontramos en el interior de un conductor en equilibrio electroestático, el campo eléctrico en su interior debe ser nulo E=0 y por tanto Qin=0 ----> Qin=Qesfera+Qsuperficie-interna-cascaron=0 ---> Qsuperficie-interna-cascaron=-Qesfera=-Q=-4/5*pi*a*R1^5
Como la carga neta del conductor es -Q ------> Qsuperficie-externa=4/5*pi*a*R1^5-Q
B) Como se acaba de demostrar, la carga total de la esfera viene dada por Q=4/5*pi*a*R1^5, si despejamos a ----> a=(5*Q)/(4*pi*R1^5) con lo que sus unidades serian C/m^5.
Esto es a la vista factible puesto que la densidad volumétrica viene dada por C/m^3 y en nuestro caso ro=a*r^2, que verifica lo anteriormente obtenido.
C) Una vez obtenidas en el apartado A la distribución de cargas, es facil determinar el campo eléctrico para cada región ---->
1. r<R1 ---> Qin=Qin(r)=Q*(r^5/R1^5) (esta expresion se obtiene considerando la carga de la esfera e introduciendola cancelando a en la de funcion del radio) ---> E=(Q*r^3)/(4*pi*epsilon*R1^5)
2. R1<r<R2 ----> Qin=Qesfera=Q ---> E=(Q)/(4*pi*epsilon*r^2)
3. R2<r<R3 -----> Qin=0 -------> E=0
4. r>R3 ------> Qin=Qsuperficie-externa-cascarón ----> E= (Qsuperficie-externa-cascarón)/(4*pi*epsilon*r^2) AQUI ES DONDE TENGO DUDA: Debo dejar Qsuperficie-externa-cascaron como tal? o expresarla según la expresion que obtuve en el apartado a?
Y eso sería la resolución de esos apartados!
Muchas gracias de antemano y espero que le echeis un ojo y me deis el visto bueno o busquemos entre todos pegas, un saludo!
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