Otras carreras Esfera maciza de radio R y cargada no-uniformemente

[Piqueroide]

Buenas de nuevo, vuelvo a subir otro problema con el cual únicamente tengo problema con el último apartado, ahí va:

"Una esfera de radio R tiene una carga positiva cuya densidad volúmica depende sólo de la distancia radial r al centro según la ley $\rho = {\rho}_{0}\left(1-\frac{r}{R} \right)$ donde rho sub cero es una constante. Calcular: a) el valor de la carga de la esfera, b) el campo eléctrico dentro y fuera en función de la distancia r, c) el valor máximo del campo eléctrico y la distancia a la que se produce. Si se le practica un pequeño tunel que atraviese a la esfera a lo largo de un diametro y se coloca un electrón a la entrada del túnel y se suelta partiendo del reposo calcular: d) hasta donde se movería el electrón, e) dónde alcanzaría su máxima velocidad y cuánto valdría esta."

Como ya dije, los primeros apartados ya los resolví, sin embargo, este el procedimiento que he seguido:

a) Divido la esfera en elementos diferenciales de carga dq consistentes en corazas esféricas de radio r, integrando para todas las contribuciones (de 0 a R) me queda:

$\frac{1}{3}\pi{\rho}_{0}{R}^{3}$

b) Considera primero una superficie gaussiana esférica de radio r tal que r >= R (demostrando antes el empleo del teorema de Gauss y el flujo que no dependerá del radio de la esfera...) quedándome:

$\frac{{\rho}_{0}{R}^{3}}{12{r}^{2} }$

Ahora, para r <= R determino la carga encerrada para una superficie gaussiana de radio r, divido de nuevo la coraza en elementos diferenciales de carga e integro entre 0 y el radio de la superficie gaussiana:

finalmente me queda $\frac{{\rho}_{0}}{{\varepsilon}_{0}}\left(\frac{r}{3}-\frac{{r}^{2}}{4{R}^{2} }\right)$

c) Para determinar el campo máximo, primero me fijo en que su valor máximo se alcanzará dentro de la esfera (no en el exterior, puesto que se comporta como una carga puntual Aviso: esto lo he supuesto, no se si realmente estará bien, no sabia como demostrarlo) luego tomo la expresión que obtuve para la región r<=R y utilizo el cálculo diferencial (optimizacion) para obtener la distancia a la que se produce el máximo, $r = \frac{2}{3}R$, sustituyo en la expresion para el campo y obtengo la correspondiente.

d) Aquí es donde me vienen los problemas, donde me gustaría que me explicaseis un poco y a ser posible, resolverlo matematicamente:

Lo que he hecho es lo siguiente:

Cuando colocamos el electrón en la entrada del tunel, este se encuentra con que existe un campo eléctrico en esa región, el cúal es el obtenido para la region r<=R. Entonces, experimentará una fuerza que vendrá dada por: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que si nos fijamos, es - una constante por una distancia, es decir, un análogo a la ley de Hooke: el electrón realizará un movimiento armónico simple de amplitud R (lo colocamos en el extremo del tunel) donde, la velocidad máxima, recordamos, viene dada por:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Posteriormente, lo que hago es obtener la omega, puesto que conozco la constante k de la expresion anterior de la fuerza, pero sin embargo, al finalizar, no me sale lo que pone en el solucionario....

¿Que hago mal?

Saludos y gracias!

PD: Habia tambien pensado resolverlo por potenciales (conservación de la energía, pero no se como demostrar hasta donde se moveria la partícula).

- - - Actualizado - - -

Una ayudita por favor gente! Solo seria con esa parte final, lo otro esta mas bien entendido.

[Al2000]

Re: Esfera maciza de radio R y cargada no-uniformemente

Primero permíteme un off topic ¡Que bueno que ya estés manejando el Latex! Un tip: cuando embebes ecuaciones en el texto, por defecto el editor reduce el tamaño de las fracciones y otros símbolos para no impactar el espacio entre líneas. Para forzar al editor a que muestre esas ecuaciones en su tamaño normal, incluye en comando "\dst" al principio de la ecuación. En vez de esto: $\rho = {\rho}_{0}\left(1-\frac{r}{R} \right)$ obtendrás esto: $\dst \rho = {\rho}_{0}\left(1-\frac{r}{R} \right)$.

Bueno, entrando en materia, te doy un par de indicaciones sobre tu ejercicio.

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c) Para determinar el campo máximo, primero me fijo en que su valor máximo se alcanzará dentro de la esfera (no en el exterior, puesto que se comporta como una carga puntual Aviso: esto lo he supuesto, no se si realmente estará bien, no sabia como demostrarlo)...

La demostración es muy directa usando el teorema de Gauss. Para una distribución de cargas que sólo depende de la distancia radial, luego de las debidas consideraciones de simetría y bla bla bla, llegas a la expresión

$$E \cdot 4 \pi r^2 = \frac {Q_\text {encerrada}}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_\text {encerrada}}{r^2}$$

Pero este valor del campo es el mismo que produciría una carga puntual que concentrase toda la carga de la distribución y colocada en su centro. Basado en esto es que puede afirmar que toda distribución de cargas, sin importar cómo varíe la densidad (siempre que dependa sólo de la distancia radial) se comporta en puntos exteriores como una carga puntual. La misma conclusión se extiende al potencial eléctrico.

...
Ahora, para r <= R determino la carga encerrada para una superficie gaussiana de radio r, divido de nuevo la coraza en elementos diferenciales de carga e integro entre 0 y el radio de la superficie gaussiana:

finalmente me queda $\frac{{\rho}_{0}}{{\varepsilon}_{0}}\left(\frac{r}{3}-\frac{{r}^{2}}{4{R}^{2} }\right)$
...

Aquí tienes un error, no es $R^2$ sino $R$ (presumo que es un error de tipeo). Si es un error en el cálculo, fíjate que este tipo de errores se pueden atrapar fácilmente, pues es claro que las dimensiones de los sumandos dentro del paréntesis no son las mismas.

...que si nos fijamos, es - una constante por una distancia, es decir, un análogo a la ley de Hooke: el electrón realizará un movimiento armónico simple...

Esto no es correcto. No es suficiente con que la fuerza sea una constante por una distancia, la fuerza debe ser proporcional a la distancia y restauradora, es decir, en sentido contrario al desplazamiento. En este caso no hay una proporcionalidad entre la fuerza y la distancia $r$, de modo que el movimiento, aunque ciertamente será oscilatorio, no es armónico simple.

Las preguntas ¿Hasta dónde se moverá el electrón? y ¿Dónde alcanzará su máxima velocidad? son muy sencillas de contestar. Fíjate que el campo que obtuviste es siempre positivo (radial hacia afuera) pues el término $\dst \frac r 3$ siempre será mayor que el término $\dst \frac {r^2}{4 R}$. No puede ser de otra manera, pues la densidad de carga que te dan es siempre positiva, y no es posible sumar capas de carga positiva de manera que el campo invierta su sentido en alguna posición del espacio.

Entonces el electrón acelerará desde la superficie de la esfera hasta llegar al centro, en donde empezará a frenar hasta detenerse en la superficie en el punto diametralmente opuesto. A continuación se invertirá el sentido del movimiento hasta que el electrón regrese a su posición original y quede (momentáneamente) en reposo, repitiéndose el ciclo indefinidamente.

¿Dónde adquiere su máxima velocidad? ¡En el centro de la esfera, claro! Es a partir del centro que el electrón empezará a frenar, pero el movimiento previo será siempre acelerado.

Determinar cuanto vale esa velocidad máxima no es tan simple, pero no es difícil. Lo mas sencillo sería determinar el potencial y aplicar el principio de conservación de la energía. Por supuesto también lo podrías intentar por cinématica, resolviendo la ecuación diferencial del movimiento (ya conoces el campo --> tienes la fuerza --> tienes la aceleración).

Si eres inteligente, lo harás calculando el potencial y aplicando el principio de conservación de la energía. Si eres inteligente y goloso, resuelve la ecuación de movimiento. Te doy un par de tips para hacerlo de la primera manera:

No hace falta determinar el potencial en todos los puntos (aunque de nuevo lo puedes hacer si eres goloso). Sólo necesitas determinar el potencial en la superficie y en el centro. El primero básicamente ya lo hiciste, pues ya calculaste la carga total:

$$V_{(R)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q R = \frac {\rho_0 R^2}{12 \epsilon_0}$$

(¿Recuerdas que se comporta como una carga puntual? ) siendo $Q$ la carga que ya determinaste.

El potencial en el centro se calcula rápidamente si partes del hecho (demostrable) de que una cáscara esférica produce en su interior un potencial constante igual al potencial en la superficie. Si divides la esfera en cáscaras de radio $r$ y grosor $dr$, el potencial en el centro de la esfera será la suma de los potenciales de todas las cáscaras desde $r=0$ hasta $r=R$:

$$V_{(0)} = \int_{0}^{R}\!\! \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {dq} r = \int_{0}^{R}\!\! \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {\rho_{(r)} \cdot 4 \pi r^2\, dr} r = \frac {\rho_0 R^2}{6 \epsilon_0}$$

Bueno, te dejo el resto. Pregunta de nuevo si algo no te sale (y no te confíes en mi, que yo me equivoco a cada rato, ¡revisa!).

Saludos,

$\mathcal A \ell$