1r ciclo Cable coaxial

[jssln]

Me podeis ayudar a resolver este tipiso ejercicio de examen.


La figura representa la sección transversal de un cable coaxial infinitamente largo. El conductor interiorposee una carga de 6 nC/m; el conductor externo esta descargado.

a) Determine y dibuje el campo eléctrico para todos los valores de r, siendo r la distancia desde el eje del cilindro.
b) ¿Cuales son las densidades superficiales de carga sobre las superficies interior y exterior del conductor externo?
c) Determine la diferencia de potencial entre el conductor interior y exterior.
d) Escriba una expresión del potencial en función de r si se conecta a tierra el conductor exterior. Dibuje las lineas del campo electrico en todo el espacio en este caso.
e) ¿Que cambios respecto a la situación original se han producido tras las modificación experimental dscrita en el aparatdo anterior?

[oscarmuinhos]

Re: Cable coaxial

el campo en el interior de un conductor, si las cargas están en equilibrio, tiene que ser cero.
Si, sabiendo esto, aplicas el teorema de Gauss a una superficie cilíndrica conaxial con el cable de radio r comprendido entre 4,5 y 6,5 cm, se llega a la conclusión de que la carga encerrada dentro de esa superficie de Gauss de radio r tiene que ser nula. Por lo tanto, si el conductor interior tiene una carga de 6 nC, la superficie interior del conductor tiene que tener una carga de - 6 nC/m.
Su densidad superficial (superficie interior del cilindro externo) será, pues,

$\dst \sigma_1 = \frac{-\lambda}{2.\pi . R_1}$ nC

Por la conservación de la carga, sobre la superficie externa del cilindro exterior deberá haber una carga positiva igual en valor a la carga negativa que hay sobre la superficie interior del cable coaxial lo que dará una densidad superficial de carga:

$\dst \sigma_2 = \frac{\lambda}{2.\pi . R_2}$

Para calcular el potencial solo tienes que aplicar que dada esta simetría cilíndrica:

$\dst \vec{E} = - \frac{d\Phi}{dr }\vec{u_r}$

Empiezas, pues, por el calcular el campo en cada una de las regiones y a continuación integras entre r e $\infty$ el campo que has obtenido en cada región. Las constantes de integración se calculan teniendo en cuenta que $\Phi_{\infty}=0$

[pascualina]

Re: Cable coaxial

Aplicando Gauss obtienes el campo en cada región del cilindro en función de r

En r<r1:
Qi=0
En r1<r<r2:
Qi=·l
En r2<r<r3:
Qi=0
En r>r3 (fuera del cable coaxial)
Qi=\lambda·l

La diferencia de potencial entre las dos superficies conductoras se calcula a través del campo eléctrico en esa región.

\DeltaV=\int(\lambda/(2\pi\varepsilon0)dr/r=(\lambda/(2\pi\varepsilon0)·ln(r2/r1)

Lo que no se es que pasá cuando se conecta el conductor expterior a tierra, esta claro que el potencial en r2 pasa a ser cero, pero que pasa en V(r1)? alguna sugerencia?

[oscarmuinhos]

Re: Cable coaxial

Aplicando Gauss obtienes el campo en cada región del cilindro en función de r

En r<r1:
Qi=0
En r1<r<r2:
Qi=·l
En r2<r<r3:
Qi=0
En r>r3 (fuera del cable coaxial)
Qi=\lambda·l

La diferencia de potencial entre las dos superficies conductoras se calcula a través del campo eléctrico en esa región.

\DeltaV=\int(\lambda/(2\pi\varepsilon0)dr/r=(\lambda/(2\pi\varepsilon0)·ln(r2/r1)

Lo que no se es que pasá cuando se conecta el conductor expterior a tierra, esta claro que el potencial en r2 pasa a ser cero, pero que pasa en V(r1)? alguna sugerencia?

Matizando para evitar confusiones en el momento de aplicar Gauss:

r < r₁ (r₁ = 1,5 cm) : E = 0 (dentro de un conductor) y por lo tanto $Q_{encerrada}= 0$

r₁ < r < r₂ (r₂ = 4,5 cm): $Q_{encerrada}= \lambda.L$, siendo L la longitud del conductor, o sea, la longitud de esa superficie de Gauss que se cierra en el infinito

r₂ < r < r₃ (r₃ = 6,5 cm): E= 0 (dentro de un condutor) y, por tanto, $Q_{encerrada}= 0$ y, en consecuencia, la carga sobre la superficie cilíndirica interior de radio r = 4,5 cm será igual a $-\lambda.L$ y, -por conservación de las cargas-, la carga sobre la superficie cilíndrica de radio r =6,5 cm, $+\lambda.L$

r₃ < r: $Q_{encerrada}= \lambda.L$

Lo que no se es que pasá cuando se conecta el conductor exterior a tierra, esta claro que el potencial en r2 pasa a ser cero, pero que pasa en V(r1)? alguna sugerencia?

Cuando el conductor exterior se conecta a Tierra, el potencial de la superficie cilíndrica exterior (r = 13/2 cm), pasa a ser cero, pero además, se descarga esa superficie exterior con lo que para r₃< r la carga encerrada pasa a ser cero (efecto Jaula de Faraday?). El potencial en las demás regiones se calcula integrando el respectivo campo e imponiendo la condición de continuidad del potencial para calcular las constantes de integración

[pascualina]

Re: Cable coaxial

Genial! ahora si, entonces integramos el campo entre las dos cortezas cilíndricas para obtener el potencial:

$V=\int Edr=\lambda/(\pi2\varepsilon0)ln(r)+C$

Por continuidad V(r_b)=0

Luego $C=-\lambda/(\pi2\varepsilon0)ln({r}_{b})$

Entonces la expresión para el potencias entre los dos cilindros queda

$V=\int Edr=\lambda/(\pi2\varepsilon0)ln(r/{r}_{b})$

Gracias Oscarmuinhos!

[Al2000]

Re: Cable coaxial

Tienes un error con el signo. Puedes darte cuenta de eso porque cuando $r < r_b$ el logaritmo es negativo. El error viene desde el principio, pues lo correcto sería que $V = - \int E\,dr$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Tienes que poner mas atención al detalle de lo que escribes. Las constantes numéricas siempre van al principio de los productos y además cuando uses la diagonal (/) para expresar una división, todo lo que esté a la derecha de la diagonal se entiende que está en el denominador, lo cual no es correcto en lo que has escrito. En definitiva, deberías concluir con $V = -(\lambda/2 \pi \epsilon_0) \ln (r/r_b)$.

[sater]

Re: Cable coaxial

Una pregunta chorra, ¿por qué dice carga si las unidades que da es de densidad lineal de carga?

[Turing]

Re: Cable coaxial

Una pregunta chorra, ¿por qué dice carga si las unidades que da es de densidad lineal de carga?

Yo entiendo el enunciado como carga por unidad de longitud, ya que se habla de conductor. No obstante, eso es la densidad lineal.

[sater]

Re: Cable coaxial

Ok, gracias, eso pensaba yo. Un saludo!

- - - Actualizado - - -

Oscarmuinhos, ¿por qué en ${\sigma}_{2}$ usas $R_2$ en lugar de $R_1$ si has dicho que debe ser igual en valor que a la carga negativa?

[Turing]

Re: Cable coaxial

¿por qué en ${\sigma}_{2}$ usas $R_2$ en lugar de $R_1$ si has dicho que debe ser igual en valor que a la carga negativa?

Pero una cosa es la densidad superficial y otra la carga, ¿no? Piensa que ha de tener la misma carga, pero la superficie no tiene por qué que ser la misma.

[sater]

Re: Cable coaxial

Vale, cierto. Muchas gracias! Respecto a lo dicho aquí por Óscar:

Empiezas, pues, por el calcular el campo en cada una de las regiones y a continuación integras entre r e $\infty$ el campo que has obtenido en cada región. Las constantes de integración se calculan teniendo en cuenta que $\Phi_{\infty}=0$

¿Por qué integrar entre cero e infinito si los radios para cada campo no varían así? Siento las preguntas tontas, pero en esta asignatura siento no estar entendiendo nada con el profesor.

[oscarmuinhos]

Re: Cable coaxial

Hola sater:

¿Por qué integrar entre cero e infinito si los radios para cada campo no varían así? Siento las preguntas tontas, pero en esta asignatura siento no estar entendiendo nada con el profesor.

Cuando se calcula la integral $\phi = - \int \vec{E}.d\vec{r}$ lo que realmente se calcula es una diferencia de potencial entre dos puntos porque aparece una constante cuyo valor solo puedes determinar conociendo el valor del potencial en un punto determinado.

Como en ese caso no te daban ningún punto de potencial conocido, para poder atribuir un valor de potencial a un punto se estudia la función que te da el potencial y dado que esa función potencial concreta se anulaba en el infinito (depende de 1/r) se toma como referencia de potencial r = infinito atribuyéndole un potencial nulo.

Un saludo

[sater]

Re: Cable coaxial

Vale ahora sí, muchas gracias. Ahora, espero que por último, en las densidades superficiales de carga, ¿los radios no serían R2 y R3 respectivamente?

[oscarmuinhos]

Re: Cable coaxial

Vale ahora sí, muchas gracias. Ahora, espero que por último, en las densidades superficiales de carga, ¿los radios no serían R2 y R3 respectivamente?

Tienes razón. Gracias.

Puse, efectivamente, $R_1$ y $R_2$, pero pensando realmente (por el del texto se entiende) en el radio interior y radio exterior, respectivamente, del casquete cilíndrico.

[sater]

Re: Cable coaxial

Gracias, es que estoy ya desesperado a cinco días del parcial y sin entender nada y soy un t(onto)iquismiquis por todo; ¡Muchas gracias!