Otras carreras Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

[Piqueroide]

Buenas a todos!

Os traigo un problema en el cual sólo quiero que me digais a ser posible si he planteado y resuelto bien dos apartados en concreto, los dos ultimos:

"Una esfera aislante de masa M y radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía de acuerdo con la expresión $\rho(r) = ar$ donde a es una constante positiva y r la distancia radial al centro de la esfera. A) Calcular el campo eléctrico y representarlo en cualquier punto del espacio. B) Calcular y representar el potencial eléctrico para cualquier punto del espacio. C) Determinar la energía potencial acumulada en el sistema. D) Si partimos la esfera en dos mitades simétricas e iguales, calcular la velocidad que adquirirían las dos mitades después de repelerse y alejarse mucho entre sí."

Bien, con los dos primeros apartados no os doy la brasa, es repetitivo: justifico el empleo de la ley de gauss por tener el problema simetría esférica y a continuación determino la carga encerrada para cada región, pero teniendo cuidado. Como la carga no se encuentra uniformemente repartida, divido la esfera en elementos diferenciales de carga en forma de corazas esféricas e integro para todas ellas, esto es lo que obtengo (pongo los resultados que me dan por que los utilizare despues para los dos ultimos apartados.

A) $r < R \Rightarrow E(r) = \frac{a{r}^{2}}{4{\epsilon}_{0}}$
$r > R \Rightarrow E(r) = \frac{a{R}^{4}}{4{\epsilon}_{0}{r}^{2} }$

B) $r \geqslant R \Rightarrow V(r) = \frac{a{R}^{4}}{4{\epsilon}_{0}r}$

$r \leqslant R \Rightarrow V(r) = \frac{a}{12{\epsilon}_{0}}\left({R}^{3} - {r}^{3}\right) + \frac{a{R}^{3}}{4 {\epsilon}_{0}}$

C) Bien, aqui es donde a ser posible me echaseis una mano si lo tuviera mal :

La energía potencial acumulada en el sistema vendrá dada por la suma de los potencial eléctricos que cada elemento diferencial de carga de nuestra ve:

$U = \frac{1}{2} \int V dq$
Tomando la expresión para el potencial de $r \leqslant R$ (donde se encuentra la carga) e integrando teniendo en cuenta que el elemento diferencial de carga viene dado por $dq = (ar)(4\pi{r}^{2})dr$, integrando me queda que la energía potencial del sistema viene dada por: $U = \frac{\pi{a}^{2}{R}^{7}}{7{\epsilon}_{0} }$

D) Aqui es donde la matan, quizas no lo tenga bien, a ver que os parece:

Primero, parto del hecho de que, viendo que no hay presencia de fuerzas externas que actuensobre una nuestro sistema y, teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un campo conservativo, podemos aplicar la conservación de la energía:

$\Delta U + \Delta K = 0 \Rightarrow \Delta U = -\Delta K$

Consideremos ahora que partimos la esfera en dos y un incremento infinitesimalmente pequeño de tiempo después. Cada mitad de la esfera va a poseer una energía pontencial, llamemosla U(A) que se corresponderá con la energía acumuladae hemos calculado previamente. Por simetría, cada semiesfera de masa $\frac{M}{2}$ adqurirá la misma velocidad, partiendo del reposo. Cuando se encuentren a una distancia suficientemente, ambas esferas no interferirán eléctricamente entre ambas, de manera que para un punto B, la energía potencial del sistema será igual a 0, U(B) = 0

Teniendo en cuenta esto, aplico la conservación de la energía:

$-U(A) = -K(B) \Rightarrow \frac{\pi{a}^{2}{R}^{7}}{7{\epsilon}_{0} } = \frac{1}{4}M{v}^{2}$ y de ahí despejo.

¿Qué os parece?

Un saludo y gracias de antemano!

[arivasm]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Yo no estoy de acuerdo con que la energía potencial final será nula: cada semiesfera posee una energía potencial (obviamente ambas la misma) que hay que incluir en el cálculo. Lo que no se me ocurre es cómo calcularla sin que sea "a pedal", es decir, sin tener que recurrir a resolver integrales que seguramente serán un tanto incómodas, al tener que plantearlas sobre semiesferas.

[Piqueroide]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Y no podria ser que la energia potencial final fuera la mitad de la energia potencial acumulada por haberse partido las esferas en mitades simetricamente iguales?

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A ver si alguien puede echar un cable, que no puedo con la curiosidad! (Ademas de tener el parcial a la vuelta de la esquina)

[arivasm]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Y no podria ser que la energia potencial final fuera la mitad de la energia potencial acumulada por haberse partido las esferas en mitades simetricamente iguales?

Está claro que no: si fuese así $\Delta U=0$; en cualquier otra situación intermedia entre estar pegadas y estar infinitamente separadas, pero sí suficientemente alejadas como para verse como dos cargas puntuales de valor Q/2, habría una $\Delta U>0$, de modo que tendríamos para la misma una $\Delta K<0$, lo que es imposible pues la K inicial es 0.

[Piqueroide]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Entonces se me agotan las posiblidades. Una cosa segura es que no hay que hacer calculo integral de nuevo para determinar la energia de la semiesfera: deberias determinar el potencial en la region interior de nuevo y, encima, sin apoyarte de gauss al no haber simetria esferica. En resumen... Es demasiado para un ejercicio de un examen.

A no ser que... Creo que ya se donde esta el fallo: a la hora de aplicar la conservacion de la energia, solo he considerado el sistema formado por la unica semiesfera, de manera que si tendrias razon: la energia potencial cuando se aleje de la primera mucho sera la energia potencial que tiene almacenada la primera semiesfera. Bien pero ahora, considera el aplicar la conservacion de la energia al sistema formado conjuntamente por las DOS semiesferas: cuando estas se encuentren muy lejos, tal que esa distancia tienda a infinito, la interaccion electrica entre ambas sera nula, dejaran de repelerse o al menos sera despreciable. Imagina esa situacion, podemos moldear esas semiesferas entonces como carga puntuales y estaras de acuerdo conmigo en que la energia potencial del sistema formado por las DOS repito sera nula (recuerda la expresion de la energia potencial para una distribucion de cargas puntuales). Mientras que para un incremento infinitesialmente pequeño de tiempo despues de cortarlas, la energia potencial del sistema sera la acumulada en la esfera: entonces concluimos con que (se conservara el momento lineal) la velocidad de cada esfera sera la misma y ademas sera igual a la velocidad que tendria esa esfera si fuera sometida a esa diferencia de potencial. Con lo que en la ecuacion de la energia solo tendria que poner 1/2 en vez de 1/4...

No se me ocurriria mas. Que opinas?

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A ver si Al luego se pasa y me echa una mano que seguro que tiene la respuesta

[arivasm]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

la energia potencial cuando se aleje de la primera mucho sera la energia potencial que tiene almacenada la primera semiesfera....podemos moldear esas semiesferas entonces como carga puntuales y estaras de acuerdo conmigo en que la energia potencial del sistema formado por las DOS repito sera nula

No concuerdo con las dos cosas que tomo de tu mensaje. Cuando las dos semiesferas estén muy alejadas la energía potencial será el doble de la que tiene almacenada cualquiera de ellas. Respecto de la segunda, el modelado como cargas puntuales, que prescindiría de esas energías almacenadas en las semiesferas, también debería aplicarse a la situación de partida.

Desde el punto de vista de la energía potencial nada impide separar la integral del cálculo en tres sumandos: el correspondiente a una de las semiesferas, el correspondiente a la otra más el término de interacción mutua.

Como los dos primeros son constantes podemos prescindir de ellos, de manera que el que determina el resultado es el último, que además será nulo en la situación final. Por tanto, es evidente que $\dst 2\frac{1}{2}\frac{M}{2}V^2=U_{int,inicial}$.

Esto incluso nos permite tener una buena estimación (pero no exacta) del resultado final: $\dst U_{int,inicial}\approx k\frac{Q^2/4}{R}$, donde he planteado que necesariamente la interacción mutua se corresponderá con la de dos cargas puntuales de valor Q/2 separadas cierta distancia, que evidentemente estará comprendida en el rango (0,2R). Si me conformo con una estimación el valor de R será mínimamente aceptable. Si tengo que hacer un cálculo exacto, entonces estamos aviados: tendremos que determinar cómo es la expresión para el potencial que origina una semiesfera como la del enunciado y a continuación ponerse a integrar para los puntos y distribución de la otra.

Lo malo es que cuando uno se pone a ello aparecen integrales demasiado complicadas.

A ver si nuestro sabio amigo Al, o cualquier otro que pueda echar una mano, nos saca de este lío.

[Piqueroide]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Desde luego el calculo integral exacto queda descartado, no hay tiempo fisico en un examen como para realizarlo, ademas de su complejidad.

Algo tiene que haber por ahí que no hayamos caido en ello... A ver si Al lo sabe, seguro

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Alguien que supiera que me eche una mano por favor, tengo mañana el parcial y es que es solo esa duda!

[oscarmuinhos]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

El enunciado de ese último punto no está muy claro, porque puede entenderse como la velocidad con que llegan a ese punto muy alejado o como la velocidad que adquirirían en ese punto muy alejado si, en ese punto muy alejado, se les deja libres....Interpretando el enunciado de esta última manera (porque me parece que es la interpretación cuya solución puede obtenerse razonablemente fácil), yo creo que, ya que las distancias son muy grandes, puedes tratar el problema como si cada semiesfera fuese una partícula de carga (puesto que la distribución de carga es de radial) Q/2. A falta de la opinión de AI, descartada la integración esa (que además, como dice arisvam, parece más que complicada), a mí no se me ocurre otra cosa que lo que ya dejó puesto arisvam....

Si la interpretación es de la primera manera (que puede que sea la que realmente es) lo único que se me ocurre es analizar el problema en términos de desarrollo multipolar quedándose uno con los términos correspondientes al desarrollo ¿monopolar y dipolar? Pero tampoco las integraciones son fáciles y, desde luego, es muy poco lo que yo sé al respecto...

suerte

[Piqueroide]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Yo personalmente creo que nos piden calcular la velocidad que alcanzan estas semiesferas cuando tras repelerse se encuentran muy alejadas entre si... Osea que yo creo que no queda otra que recurrir a calcular la energia potencial inicial de interaccion de forma aproximada, y con ello la velocidad verdad? Como bien explico arivasm.

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De todas maneras oscar, si fuera como tu dices, como tu lo interpretas asumiendo que se dejan libres en ese punto lejano, como seria por curiosidad?

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Y me reitero una vez mas, no seria posible que esa energia de interaccion inicial tal que fuese aproximada de forma casi exacta, no podria coincidir con la potencial acumulada en la esfera integra? Es la unica manera exacta de calcular esa velocidad que se me ocurre.

[arivasm]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Desde luego, si el enunciado se interpreta en la forma que dice Óscar, de que las semiesferas son llevadas a lugares tales que están suficientemente alejadas una distancia $d$ como para que cada una vea a la otra como una carga puntual, entonces la respuesta es muy obvia: $2\frac{1}{2}\frac{M}{2}v^2=k\frac{Q^2}{4d}$

[Al2000]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Lamento no poder aportar LA SOLUCIÓN pues no veo forma de responder la cuestión sin pasar por el cálculo de la energía necesaria para formar las dos medias esferas (que sean simétricas e iguales ).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: Esfera de masa M, radio R y cargada no uniformente, cortada en dos

Gracias, Al. Entiendo entonces que en tu opinión la única forma de responder adecuadamente al ejercicio es pasar la tortura de calcular la energía potencial de una semiesfera con la distribución de carga del enunciado (aunque la tortura también lo sería con una distribución de carga uniforme!)