Otras carreras Esferas conductoras concentricas (de nuevo)

[luciano]

Hola, buenos días/tarde/noche, he visto muchos hilos sobre este tema, pero ninguno pudo resolver la duda que tengo, me dieron un problema de dos esferas conductoras de radio R1 y R2, respectivamente, la esfera interior tiene una carga negativa, un electrón escapa de la misma con un velocidad despreciable y me pide que considerando que el espacio entre ambas es vacio, calcule la velocidad final con la que el electrón llega a la esfera exterior, se que es conservación de la energía, lo que hice fue calcular el potencial en el espacio entre las esferas, utilizando el principio de superposición y encontre que :

V(r)= K Q1/r + KQ2/R2

Mi duda es la siguiente, se que la energía potencial de una esfera conductora es de radio r es U= 1/2 (Q^2/r)

Entonces la energía potencial entre las esferas no podría calcularla multiplicando el potencial por la carga del electrón U=Vq? , sino que seria
U =(1/2)(Q1^2/r) + (1/2)(Q2^2/R2) . Gracias de antemano, un saludo

[sater]

Re: Esferas conductoras concentricas (de nuevo)

Buenas, a ver si no me equivoco. En el espacio entre ellas, la esfera de radio mayor no influye ni en el campo ni por ende en el potencial (Th. de Gauss). Así, solo te interesa el potencial que crea la interna, que fuera de ella es como el de una carga puntual en el centro y decae con la inversa de la distancia (como una carga puntual).
Calcula la diferencia de potencial entre la parte externa de la esfera interna y la parte interna de la esfera externa ( siento el lio de palabras) y multiplicando por la carga del electrón la diferencia tienes la diferencia de energía potencial. Ahora aplicas la conservación de la energía sabiendo que la velocidad inicial es cero.
Si me equivoco que alguien me corrija, gracias.

[luciano]

Re: Esferas conductoras concentricas (de nuevo)

Aun no logro entender , por que una cosa es el potencial de una esfera conductora y otra es la energía potencial de una esfera conductora, según tengo entendido esta es U=1/2(V.Q) o lo que es lo mismo 1/2(Q^2/r). Si calculo el potencial entre las esferas, por superposición este me da V(r)= K Q1/r + KQ2/R2

Ahora, U en este punto es U=(K Q1/r + KQ2/R2 ).qe o es U=1/2 k((Q1^2)/r +(Q2^2)/R2)????

Lo que intento hacer es plantear que la variación de la energía mecánica total es cero por ende :

Ui+Ki=Uf+Kf

Como la velocidad del electrón es despreciable cuando parte de la esfera 1, entonces KI=0, en la situación inicial reemplazaría el termino r de la esfera gausseana como r=R1, pero en el termino de la U final r = R2. El problema es que no se cual de las dos expresiones U=(K Q1/r + KQ2/R2 ).qe o U=1/2 k((Q1^2)/r +(Q2^2)/R2) es la correcta ni por que.

[oscarmuinhos]

Re: Esferas conductoras concentricas (de nuevo)

Aun no logro entender , por que una cosa es el potencial de una esfera conductora y otra es la energía potencial de una esfera conductora, según tengo entendido esta es U=1/2(V.Q) o lo que es lo mismo 1/2(Q^2/r). Si calculo el potencial entre las esferas, por superposición este me da V(r)= K Q1/r + KQ2/R2

Una cosa es la energía potencial (acumulada) de una distribución de carga y otra cosa es la energía potencial que adquiere una carga q colocada en el campo creado por una distribución de carga:

Energía potencial acumulada en una distribución de carga:
La energía potencial de una distribución continua o discontinua de carga es la energía necesaria para reunir esa distribución de carga a partir de cargas situadas en el infinito o, interpretado de otra manera, es el trabajo que podemos obtener de dicha distribución de carga al trasladar cada una de esas cargas hasta el infinito. Para ilustrarlo con un ejemplo, pongamos el caso de una distribución de tres cargas:
-para traer la primera carga desde el infinito no consumimos trabajo alguno porque no hay fuerza eléctrica alguna. Coloquemos esta primera carga (por abreviar las expresiones) en el origen de coordenadas.
-por el hecho mismo de estar esta primera carga $q_1$ en el origen de coordenadas, en su entorno aparecerá un campo y un potencial eléctricos $\dst V_2 = \frac{q_1}{4.\pi \varepsilon.r_{12}}$ y traer hasta este segundo punto una carga $q_2$ desde el infinito consumirá (o realizará) un trabajo $\dst q_2.V_2 = q_2 \frac{q_1}{4.\pi \varepsilon.r_{12}}$.
-las dos cargas $\dst q_1$ y $\dst q_2$, ya colocadas en los puntos 1 y 2 darán lugar, por el principio de superposición, a un potencial en el punto 3 $\dst V_3 = \frac{q_1}{4.\pi \varepsilon.r_{13}} + \frac{q_2}{4.\pi \varepsilon.r_{23}}$ y traer una carga $q_3$ desde el infinito al punto 3 consumirá (o realizará) un trabajo $\dst q_3.V_3 = q_3.\left(\frac{q_1}{4.\pi \varepsilon.r_{13}} + \frac{q_2}{4.\pi \varepsilon.r_{23}} \right)$.
La suma de estos dos trabajos será la energía potencial acumulada en esta distribución arbitraria de tres cargas.

Energía potencial que adquiere una carga en el campo creado por una distribución de carga:
Si partimos de la distribución de carga anterior, y ahora consideramos una carga q situada en el campo creado por la distribución de cargas anterior, la energía de esta carga q en un punto P del campo vendrá dada por $\dst q.V_P =q \left( \frac{q_1}{4\pi.\varepsilon.r_{1P}} + \frac{q_2}{4\pi.\varepsilon.r_{2P}} + \frac{q_3}{4\pi.\varepsilon.r_{3P}}\right)$

Pero, hacer con las tres cargas anteriores y con esta carga q una distribución de cuatro cargas acumularía una energía potencial de:
$\dst q_2 \frac{q_1}{4.\pi \varepsilon.r_{12}} + q_3.\left(\frac{q_1}{4.\pi \varepsilon.r_{13}} + \frac{q_2}{4.\pi \varepsilon.r_{23}} \right) + q \left( \frac{q_1}{4\pi.\varepsilon.r_{1P}} + \frac{q_2}{4\pi.\varepsilon.r_{2P}} + \frac{q_3}{4\pi.\varepsilon.r_{3P}}\right)$


Has entendido la diferencia?
Un saludo

[luciano]

Re: Esferas conductoras concentricas (de nuevo)

A ver si lo he entendido... entonces, la expresión U=1/2 k((Q1^2)/r +(Q2^2)/R2) seria la energía potencial (o el trabajo) para formar el sistema de las dos esferas conductoras concentricas. Pero la expresión U=(K Q1/r + KQ2/R2 ).qe seria el trabajo para mover el electrón en el campo eléctrico creado en la zona entre ambas esferas y por ende esa seria la expresión de la energía potencial que tengo que usar , por que si plantearía la energía potencial como U=1/2 k((Q1^2)/r +(Q2^2)/R2) estaría considerando la energía potencial que sienten las cargas que componen la esfera y no la del electrón que es el que se mueve de una esfera a la otra.

Pero si me preguntarían, por ejemplo, cual es la energía potencial entre las esferas, en ese caso si estaría bien usar la expresión U=1/2 k((Q1^2)/r +(Q2^2)/R2)

[oscarmuinhos]

Re: Esferas conductoras concentricas (de nuevo)

Hola

A ver si lo he entendido... entonces, la expresión U=1/2 k((Q1^2)/r +(Q2^2)/R2) seria la energía potencial (o el trabajo) para formar el sistema de las dos esferas conductoras concentricas.

$\dst U=\frac{1}{2}k\frac{Q_1^2}{R_1}$ sería la energía potencial acumulada en esa distribución superficial de carga que es la esfera conductora si dicha esfera conductora está aislada.

Pero calcular la energía potencial acumulada por las dos esferas conductoras, cargada la primera con una carga $Q_1$ y la segunda con una carga $Q_2$, no puede hacerse sumando las energías acumuladas en cada distribución esférica aislada, porque para formar la distribución de carga de la segunda esfera hay que tener en cuenta el campo creado por la primera esfera en cada punto de la segunda superficie esférica. El problema de calcular la energía potencial acumulada en estas dos esferas es ahora más complejo.

En el caso de que se trate de superficies conductoras concéntricas, el cálculo de la energía potencial acumulada en esta segunda superficie esférica (si no me equívoco en el razonamiento) no es difícil y daría:
$\dst U=\frac{1}{2}k\frac{Q_1.Q_2}{R_2}$
y la energía acumulada por las dos esferas (siendo $R_2$ el radio de la superficie esférica exterior):
$\dst U=\frac{1}{2}k\frac{Q_1^2}{R_1} +\frac{1}{2}k\frac{Q_1.Q_2}{R_2}$

Saludos