1r ciclo Separación de variables en cartesianas

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente problema:



Para resolverlo utilizo la técnica de separación de variables:

$\dst V(x,y)=(Ae^{kx}+Be^{-kx})(C\sin (ky)+D\cos (ky))$

Y aplico las condiciones de contorno:

$\dst \left\{ \begin{aligned}<br /> V(0,y)=0\\<br /> V(a,y)=0\\<br /> V(x,0)=0\\<br /> V(x,b)=V_0<br /> \end{aligned}\right.$

Aplicando la primera y tercera condición de contorno llego a la expresión

$\dst V(x,y)=2AC\sinh (kx)\sin (ky)$

Pero no sé cómo aplicar las otras dos que quedan, ya que, aplicando la condición 2:

$\dst 2AC\sinh (ka)\sin (ky)=0\to ky=n\pi\to k=\frac{n\pi}{y}$ ¿?¿?¿?

¿Alguien puede echarme una mano? Seguro que es una tontería, pero no consigo sacarlo...

Gracias de antemano .

[[Beto]]

Re: Separación de variables en cartesianas

Hola, según veo únicamente te haría falta determinar la constante que acompaña a la función $C'=2AC$, para hacer eso tienes que aprovechar las propiedades de ortogonalidad de las funciones que tienes ahí.

[gdonoso94]

Re: Separación de variables en cartesianas

Pero si no he demostrado que k depende de algún n... ¿Por qué voy a utilizar propiedades de ortogonalidad? (Que se usan, pero no sé ocómp demostrar que k=k(n)...)

Saludos y gracias.

[[Beto]]

Re: Separación de variables en cartesianas

Pero si no he demostrado que k depende de algún n... ¿Por qué voy a utilizar propiedades de ortogonalidad? (Que se usan, pero no sé ocómp demostrar que k=k(n)...)

Saludos y gracias.

Cierto, viendo con más cuidado tu solución noto algo extraño ... las funciones armónicas deberían ser función de $x$ y las hiperbólicas o exponenciales función de $y$, y tienes eso al revés quizá eso sea el problema. Una forma fácil de que te des cuenta de eso es que tu función potencial en $x$ tiene dos ceros, entonces yo propondría una solución sinusoidal para $x$, ya que debe de haber una periodicidad en ese intervalo.

Un saludo.

[oscarmuinhos]

Re: Separación de variables en cartesianas

Hola gdonoso94 y hola Beto

$\dst V(x,y)=(Ae^{kx}+Be^{-kx})(C\sin (kx)+D\cos (kx))$

Antes de nada, corrige ese error de tipeo al escribir el potencial V(x,y):
$\dst V(x,y)=(Ae^{kx}+Be^{-kx})(C\sin (ky)+D\cos (ky))$

Y aplico las condiciones de contorno:
$\dst \left\{ \begin{aligned}<br /> V(0,y)=0\\<br /> V(a,y)=0\\<br /> V(x,0)=0\\<br /> V(x,b)=V_0<br /> \end{aligned}\right.$

Aplicando la primera y tercera condición de contorno llego a la expresión

$\dst V(x,y)=2AC\sinh (kx)\sin (ky)$

Pero no sé cómo aplicar las otras dos que quedan, ya que, aplicando la condición 2:

$\dst 2AC\sinh (ka)\sin (ky)=0\to ky=n\pi\to k=\frac{n\pi}{y}$ ¿?¿?¿?

Al aplicar esta condición 2, te resulta $\dst 2AC\sinh (ka)\sin (ky)=0$ y tendrá que hacerse no $sin (ky) = 0$ sino $sin (ka) =0$, de donde $ka = n\pi$ o $\dst k = \frac{n\pi}{a}$

Con lo que el potencial, aceptando el cambio de constante que propone Beto, quedará: $V(x,y) = \dst C' \sinh (\frac{n\pi}{a}x)\sin (\frac{n\pi}{a}y)$

En cuanto a la condición de ortogonalidad que indica Beto, a ver si el aclara como aplicarla. En todo caso, entiendo que esa condición de ortogonalidad tendrá que incluir la condición que falta de que $V(x,b) =V_0$

Un saludo

[gdonoso94]

Re: Separación de variables en cartesianas

Hola, ante todo, gracias por responder.

Beto: Al resolver la ecuación de Laplace por separación de variables me queda como la he puesto (incluyendo la correción de oscarmuinhos), entonces no sé por qué no sale...

Oscarmuinhos: Ante todo muchas gracias por la corrección, estaba bastante despistado. En cuanto a lo otro, coincido exactamente contigo. La condición de orgotonalidad se aplicarla, pero no sé por qué queda $\sinh (ka)$ en vez de $\sin (ka)$, en otro ejercicio que he hecho similar me queda exactamente como tu dices.

Un saludo.

[oscarmuinhos]

Re: Separación de variables en cartesianas

Oscarmuinhos: Ante todo muchas gracias por la corrección, estaba bastante despistado. En cuanto a lo otro, coincido exactamente contigo. La condición de orgotonalidad se aplicarla, pero no sé por qué queda $\sinh (ka)$ en vez de $\sin (ka)$, en otro ejercicio que he hecho similar me queda exactamente como tu dices.
Un saludo.

hola:
Efectivamente en esta solución te quedaría $\dst sinh(ka) = 0$.
Pero, al único efecto de determinar el valor de k, se puede volver atrás a la ecuación diferencial.

Si se vuelve a la ecuación diferencial que has resuelto:

$\dst \frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y}=0$, en la que has hecho $\dst \frac{X''}{X} =- \frac{Y''}{Y}= k^2$ obteniendo la solución que pones, podrías haber hecho:

$\dst \frac{Y''}{Y} =- \frac{X''}{X}= k^2$, ecuación en la que el valor absoluto de $k$ debe de seguir siendo el mismo que en la ecuación anterior.

De esta ecuación diferencial, se obtiene $\dst V(x,y) = \left( A.e^{ky} + B.e^{-ky} \right).\left( C.cos(kx)+D.sin(kx) \right)$

Con la ecuación esta y las mismas condiciones de contorno, se obtiene la condición $\dst sin(ka) = 0$.

ESTE CAMBIO DE ECUACIÓN SOLO VALE A EFECTOS DE OBTENER EL VALOR DE k. El cálculo de la constante C' que falta se tiene que obtener de la ecuación inicial que has puesto aplicando la condición que queda por aplicar.
Saludos

[gdonoso94]

Re: Separación de variables en cartesianas

Sí, así sale, es cierto. Lo que no consigo entender es por qué no sale con la otra ecuación... Tiene que haber algo que se escapa...

A ver si alguien consigue darse cuenta, porque no es normal que sólo se pueda determinar k con una de las dos soluciones... Al ser la misma debería poderse obtener con cualquiera de las dos...

Un saludo.

[oscarmuinhos]

Re: Separación de variables en cartesianas

Sí, así sale, es cierto. Lo que no consigo entender es por qué no sale con la otra ecuación... Tiene que haber algo que se escapa...

A ver si alguien consigue darse cuenta, porque no es normal que sólo se pueda determinar k con una de las dos soluciones... Al ser la misma debería poderse obtener con cualquiera de las dos...

Un saludo.

Hola de nuevo
Lo que se nos escapa (a ti y a mi) es lo que señala Beto en el post #4.
Habida cuenta de que V(0,y) = 0 y V(a,y) = 0, la función X(x) ha de ser periódica y, por lo tanto, de las dos soluciones posibles que se pueden tener del método de separación de variables:

$\dst V(x,y) = \left( A.e^{kx} + B.e^{-kx} \right).\left( C.cos(ky)+D.sin(ky) \right)$

$\dst V(x,y) = \left( A.e^{ky} + B.e^{-ky} \right).\left( C.cos(kx)+D.sin(kx) \right)$

hay que empezar eligiendo la segunda, porque, como dice Beto, tiene que ser periódica para volver a valer 0 en x=a.

Saludos

[gdonoso94]

Re: Separación de variables en cartesianas

Mil gracias a los dos. Ya lo he entendido.

Un saludo.