1r ciclo Campo electrico debido a un cilindro cargado

[va1995]

A ver si me pueden echar una mano por favor, tenemos el siguiente enunciado:
Considérese un cilindro de radio R=15 cm y longitud l=40 cm uniformemente cargado en superficie con σ=10-7 C/m2. Determine el campo eléctrico para un punto obre su eje, a una distancia d=20 cm respecto a uno de sus extremos.

Se que hay dos formas de hacerlo, la primera es considerando que hay pequeños diferenciales de carga dq dentro del cilindro que provocan el campo eléctrico en ese punto y luego solo seria hacer la integral a esos diferenciales, pero surge el problema de hacia donde se dirige el vector campo eléctrico. La otra opción es emplear el teorema de Gauss y coger como superficie gaussina un cilindro mayor que el dado y en cuya superficie este el punto del eje del que nos piden E, pero no se si es válido el razonamiento. Por favor díganme cual es la opción correcta o mejor. Gracias

[oscarmuinhos]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

A ver si me pueden echar una mano por favor, tenemos el siguiente enunciado:
Considérese un cilindro de radio R=15 cm y longitud l=40 cm uniformemente cargado en superficie con σ=10-7 C/m2. Determine el campo eléctrico para un punto obre su eje, a una distancia d=20 cm respecto a uno de sus extremos.

La otra opción es emplear el teorema de Gauss y coger como superficie agustina un cilindro mayor que el dado y en cuya superficie este el punto del eje del que nos piden E, pero no se si es válido el razonamiento. Por favor díganme cual es la opción correcta o mejor. Gracias

El teorema de Gauss es válido para cualquier superficie cerrada. Es decir, sea cual sea la superficie se sabe que la integral $\dst \oint_S \vec{E}\vec{dS}$ es igual $\dst \frac{Q_{encerrada}}{\varepsilon}$. Otra cosa es que nos sea útil para calcular el campo el $\vec{E}$. En este caso no sirve.

[va1995]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

Vale, entonces si no se puede por gauss, habría que poner dE=k dq R/r^2 siendony luego integral dE para obtener a E. Pero cual es la dirección y sentido del vector E y cuales serian R y r??

[oscarmuinhos]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

Hola
Efectivamente ese que dices sería el método. Pero, dada la simetría (pues te piden calcular el campo en un punto del eje del cilindro a 20 cm de uno de los extremos), puedes empezar dividiendo esa superficie cargada en aros o anillos infinitesimales y partir del campo creado por cada uno de estos aros infinitesimales y por integración hallar el campo creado por todos los aros de la superficie cilíndrica. Si se hace así el vector $\vec{dE}$ tiene la dirección del eje del cilindro.
Saludos

[va1995]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

Si cojo aros infinitesimales la distancia r del punto a los aros infinitesimales ira variando, por lo cual habria que ponerla en funcion del radio y del angulo si no me equivoco seria 15 por el seno del ángulo, y ese seno es 15 partido r por lo que operando queda dE=225 K dq/r^3 cuya integral es 225 k Q /r^3, pero entonces para que me dan la carga superficial??
Muchas gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

Hola
No exactamente. El radio del cilindro permanece constante.
Se empieza calculando el campo creado por un aro.
Con la ayuda de la siguiente figura

el campo en un punto P del eje del aro situado a una distancia $x$ del mismo es fácil de calcular, pues la distancia desde un elemento de carga del aro a dicho punto P permanece constante y sale fuera del signo de integración.
Por simetría, es fácil de ver que el campo solo va a tener componente $E_x$ y esta componente es

$\dst dE_x = dE.cos\theta= \frac{1}{4\pi.\varepsilon_0}.\frac{dq}{r^2}.cos\theta=\frac{1}{4\pi.\varepsilon_0}.\frac{\lambda.dl}{r^2}.cos\theta=\frac{1}{4\pi.\varepsilon_0}.\frac{\lambda.a.d\theta}{r^2}.cos\theta$

Al hacer la integración se obtiene:

$\dst \vec{E}= \frac{1}{4\pi.\varepsilon_0}.\frac{\lambda.L}{r^2}.\frac{a}{\sqrt{(a^2 + x^2)} }.\vec{i}=\frac{1}{4\pi.\varepsilon_0}.\frac{Q.a}{\sqrt{(a^2 + x^2)^3} }.\vec{i}$


El campo para el cilindro dividido en aros infinitesimales para este caso sería (ver figura):


$\dst dE = \frac{1}{4\pi.\varepsilon_0}.\frac{dq.a}{\sqrt{(a^2 + (0,6-y)^2)^3} }= \frac{1}{4\pi.\varepsilon_0}.\frac{\sigma.2\pi.a.dy.a}{\sqrt{(a^2 + (0,6-y)^2)^3} }$

Se integra esta expresión y se tendría el campo en el punto P creado por esa superficie cilíndrica uniformemente cargada.

Un saludo

[va1995]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

Vale perfecto, pero la distancia 0,6-y se toma arbitrariamente o es porque la distancia del punto P (que por el enunciado dista 0,2 del extremo) al otro extremo ya que la longitud del cilindro es 0,4??

Muchas gracias. Un saludo.

[oscarmuinhos]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

Vale perfecto, pero la distancia 0,6-y se toma arbitrariamente o es porque la distancia del punto P (que por el enunciado dista 0,2 del extremo) al otro extremo ya que la longitud del cilindro es 0,4??

Muchas gracias. Un saludo.

Si te fijas, he puesto el origen de coordenadas en el centro de la base del cilindro más alejada del punto donde quieres calcular el campo. (podía haberse elegido cualquier otro punto). Por lo tanto el punto donde se quiere calcular el campo es $y_p = 0,6$ m. He llamado $y$ a la distancia desde el origen al aro infinitesimal. Por lo tanto, la distancia entre el aro y el punto P (que es la distancia que hay que poner en la fórmula anteriormente obtenida para el campo) es $0,6 -y$

un saludo

[pabconlo]

Re: Campo electrico debido a un cilindro cargado

Hola.
Esta mañana al estar buscando problemas encontré este y me puse a intentar hacerlo basándome en su razonamiento. Llego a sus mismas expresiones salvo a la última. No entiendo, y no se de de donde sale ni que valor tiene σ en la última expresión.
Un saludo.