1r ciclo Thevenin y Maxima transferencia de potencia

[Nitroni]

Necesito ayuda para el apartado b de este ejercicio.Para el apartado a) he calculado la resistencia thevenin entre A y B :

${Z}_{th }= 2,73 \angle 18,7$

Y para que la impendacia de carga reciba la maxima potencia :

${Z}_{L }={Z}_{ th}^*$

Despues he transformado la fuente de voltaje y la resistencia en serie en una fuente de corriente :

$\displaystyle{I}_{g }=\frac{50 \angle 45}{ 3}= 16,666 \angle 45$

La potencia maxima seria :

$\displaystyle{P}_{ZL }= \frac{{I}_{ g}^2}{4{G}_{g } }= 183,33 W$. El valor no me coincide con el resultado de la solucion aunque no creo que lo este haciendo mal. Lo que me interesa es que es lo que tengo que hacer para el apartado b).

[Marce_]

Re: Thevenin y Maxima transferencia de potencia

Despues he transformado la fuente de voltaje y la resistencia en serie en una fuente de corriente :

$\displaystyle{I}_{g }=\frac{50 \angle 45}{ 3}= 16,666 \angle 45$

El error en el apartado a) está acá. Primero que en caso de ser esa la corriente del generador, no es la que circula por la carga ya que hay un nodo en el medio, y lo segundo que te pasó es que quisiste convertir la fuente pero no llegaste a masa (no cerraste el circuito). En caso de querer calcular [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sería:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Haciendo Thevenin (A y B a circuito abierto) :

$$V_{TH} =V_G - I\cdot 3\Omega\quad,\quad I = \dfrac{50\angle45}{5+j10}\quad,\quad\boxed{V_{TH} = 45.607\angle60.255}$$

$$\boxed{Z_{TH} =\overline{Z_L}= 2.7364\angle15.255}$$

Finalmente:

$$P_{ZL} =\dfrac{V_{TH}^2}{4 \cdot Re(Z_L)}$$

El signo del angulo de la impedancia (que es justamente la resta entre el ángulo que tiene la tensión y la corriente) en notación fasorial te dice como se está comportando el circuito. Como el signo del ángulo de[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es positivo, eso significa que -al espiar entre A-B-, el circuito se comporta inductivamente. Si la máxima transferencia de potencia activa se produce en el momento en que el circuito se comporta resistivamente, necesitaré añadirle algo de carácter capacitivo. Es por esto que la carga debe ser capacitiva (ángulo del fasor negativo). En la jerga el compensar circuitos capacitivamente se llama corrección del coseno phi o factor de potencia.

En base a este razonamiento, podemos saber que valor posible de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tomará la nueva [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . La misma debe ser lo más similar posible a la parte compleja de la carga anterior en notación binomial. Si me fijo el valor más cercano de los que me permite es -2, y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] resultará de resolver la siguiente ecuación:

Una de las tantas formás analíticas de hacerlo:

$$\arctan\left({\dfrac{X_{C}}{R_L}}\right)=-15.255$$

La nueva potencia en la carga:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Un abrazo.-

[Umbopa]

Re: Thevenin y Maxima transferencia de potencia

No es cierto que para el apartado b se cumpla

atan(X_C/R_L) = -15.255

Hay que maximizar la potencia en la carga directamente : d P_ZL / d R_L = 0

Máximo Potencia en la carga cuando X_C esta fijado:

$P_L \propto \frac{R_L}{(R_{TH} + R_L)^2 + (X_{TH}+X_C)^2}$

$\frac{d P_L}{d R_L} = 0 \:\: \longrightarrow \:\: (R_{TH}^2 - R_L^2) + (X_{TH} + X_C)^2 = 0$

$( (2.7364 cos(15.255))^2 - R_L^2) + ( 2.7364 sin(15.255) -2 )^2 = 0 \:\: \longrightarrow \:\: R_L = 2.93$

Y vemos que :

$atan(\frac{-2}{2.93}) = -34.32 \neq -15.255$

Recordar!!! la condición de el máximo de una función de dos variables no es la misma si las dos variables no estan restringidas que cuando lo estan.

Cuando varian libremente la condición para el máximo es $\frac{\partial P_L}{\partial R_L} = 0 = \frac{\partial P_L}{\partial X_C} \:\: \longrightarrow \:\: R_L = R_{TH} \:,\: X_C = - X_{TH}$

[Nitroni]

Re: Thevenin y Maxima transferencia de potencia

Creo que atrode tiene razon. Cuando la reactancia es fija y ${R}_{L }$ varia hay que maximizar la funcion quedando:

$\displaystyle\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d}{R}_{ L} }=0$$\Rightarrow {R}_{L }= \left\vert{}{Z}_{ g}+ j{X}_{c } \right\vert{}$

La resistencia de carga tendria que ser igual al modulo de la impedancia del generador mas el nuevo valor de la reactancia de la carga.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Seria correcto?

[Marce_]

Re: Thevenin y Maxima transferencia de potencia

No es cierto que para el apartado b se cumpla


atan(X_C/R_L) = -15.255

Gran verdad, es una animalada. Y debo confesar que no había resuelto el apartado b). Lo que si puedo decir es lo siguiente:

$$\arctan\left({\dfrac{X_{C}}{R_L}}\right)\leq -15.255$$

Como $\dst X_{C}$ aumenta, $\dst R_{L}$ también tenderá a aumentar para alcanzar esta igualdad. Si el problema me obliga a incorporar una mayor cantidad de reactancia, indefectiblemente el ángulo del fasor correspondiente a la impedancia de carga será menor al óptimo. Esto me permitiría brindar una cota máxima en el recinto de integración (que no es necesario en absoluto), pero me ayudaría a conocer -en caso de no saber para donde correr- como varía la potencia sobre los planos $\dst X_{C}=cte$.



Y ya que estamos, si uno no supiera que debe elegir aquella reactancia que se encuentre más cercana al origen, hagámosla completa. Asumiendo que $\dst P_{ZL}=P(R_{L}, X_{C})$, si nos colgamos del eje z y miramos hacia abajo (4to octante) podríamos ver algo así.

La potencia activa en la carga será:

$$P_{ZL} =|I_{N}| \cdot |V_{ZL}| \cdot \cos(\theta_{ZL})$$

donde:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\Longrightarrow\boxed{ P_{ZL} =\left(\dfrac{{|V_{TH}|}^2}{(R_{L} + R_{TH})^2+(X_{TH} + X_{C})^2}\right) \cdot R_{L}}$$

y acá como bien introdujo Atrode, $\dst P_{ZL} \propto \dfrac{R_L}{(R_{TH} + R_L)^2 + (X_{TH}+X_C)^2}$, ya que $\dst |V_{TH}|=cte$. Buscando el máximo en el recinto , derivando e igualando a cero a $\dst P (R_{L}, -2)$, obtenemos:

$$\dst R_{L} = \sqrt{{R_{TH}}^2 + (X_{TH}-2)^2}$$

finalmente:

$$R_L= \boxed{2.934\Omega}$$

Gracias por tomarte el tiempo de revisarlo!.


Un abrazo.-