Tweet
Hallar el potencial en el semiespacio superior z>0 con condiciones de contorno: El potencial vale 0 en z=0 salvo en un círculo de radio R, donde vale V.
Lo tengo que hacer vía función de Green. Para ello, según he leído, busco la función de Green asociada al problema, y cuando la tenga integro así:
Sobre el círculo de radio R, porque fuera del círculo la integral vale 0.
Hallar la función de Green:
En principio, sería una carga arriba y otra carga imagen de signo contrario "en espejo" (en el otro semiespacio), así:
La derivada la hago calculando el gradiente y multiplicándolo por el vector unitario de la coordenada z apuntando hacia el semiplano inferior, es decir, . Si alguien sabe otra forma más fácil de calcular derivadas normales, que me lo diga porfi, que soy autodidacta y me cuesta jajaja:
Y entonces lo evalúo en z'=0 para integrarlo: (Luego lo expresaría en cilíndricas y a integrar en un círculo)
PERO NO!!! ESA RESTA VALE 0!!! ¿Qué está sucediendo? ¿Por qué sucede esto? ¿Qué estoy haciendo mal?
¡Muchas gracias!
- - - Actualizado - - -
Ya he encontrado el fallo: Estaba en el cálculo del gradiente.
El resultado equivocado:
El resultado "correcto" (espero)
De nuevo, pido auxilio para el cálculo del gradiente hahaha pensé que lo dominaba, pero es evidente que no.
Mi problema al calcular este gradiente fue que el nabla tenía que haberlo usado sobre las x', no sobre las x. Y aun considerándolo sobre las x', debía considerar el z' que sale en ese denominador.
¿Usáis alguna clase de regla de la cadena para calcular los gradientes? Yo estaba usando dos que me coincidían los cálculos y, hasta ahora, soy feliz (y lo sigo siendo):
No sé si están bien, pero a mi me suelen funcionar hahaha estoy buscando en internet sobre el tema, pero no encuentro nada, ni en libros! ¿Alguien sabe calcular gradientes de una forma distinta a la fuerza bruta? Para mí fuerza bruta es escribir los vectores por sus coordenadas cartesianas y empezar a derivar como un loco en cada coordenada.
Lo tengo que hacer vía función de Green. Para ello, según he leído, busco la función de Green asociada al problema, y cuando la tenga integro así:
Sobre el círculo de radio R, porque fuera del círculo la integral vale 0.
Hallar la función de Green:
En principio, sería una carga arriba y otra carga imagen de signo contrario "en espejo" (en el otro semiespacio), así:
La derivada la hago calculando el gradiente y multiplicándolo por el vector unitario de la coordenada z apuntando hacia el semiplano inferior, es decir, . Si alguien sabe otra forma más fácil de calcular derivadas normales, que me lo diga porfi, que soy autodidacta y me cuesta jajaja:
Y entonces lo evalúo en z'=0 para integrarlo: (Luego lo expresaría en cilíndricas y a integrar en un círculo)
PERO NO!!! ESA RESTA VALE 0!!! ¿Qué está sucediendo? ¿Por qué sucede esto? ¿Qué estoy haciendo mal?
¡Muchas gracias!
- - - Actualizado - - -
Ya he encontrado el fallo: Estaba en el cálculo del gradiente.
El resultado equivocado:
El resultado "correcto" (espero)
De nuevo, pido auxilio para el cálculo del gradiente hahaha pensé que lo dominaba, pero es evidente que no.
Mi problema al calcular este gradiente fue que el nabla tenía que haberlo usado sobre las x', no sobre las x. Y aun considerándolo sobre las x', debía considerar el z' que sale en ese denominador.
¿Usáis alguna clase de regla de la cadena para calcular los gradientes? Yo estaba usando dos que me coincidían los cálculos y, hasta ahora, soy feliz (y lo sigo siendo):
No sé si están bien, pero a mi me suelen funcionar hahaha estoy buscando en internet sobre el tema, pero no encuentro nada, ni en libros! ¿Alguien sabe calcular gradientes de una forma distinta a la fuerza bruta? Para mí fuerza bruta es escribir los vectores por sus coordenadas cartesianas y empezar a derivar como un loco en cada coordenada.