Otras carreras Resistencia de un conductor de seccion circular S y radio L con resistividad no uniforme.

[Piqueroide]

Buenas a todos!

Traigo un problema en el cual por muy absurdo que suene no puedo resolverle porque a la hora de integrar, el diferencial me queda dividiendo!

"Sea un conductor muy largo de sección circular S hecho de un material cuya resistividad depende sólo de la distancia r hasta el eje del conductor según la ley $\rho = \frac{\alpha}{{r}^{2}}$, donde alfa es una constante. Determine la resistencia por unidad de longitud de ese conductor"

Bien lo que yo hago es partir de la definición de resistencia de un conductor, en este caso para un cacho de el de longitud L. Sin embargo, como la resistividad depende de la distancia radial, no me queda otra que considerar pequeños elementos diferenciales conductores en forma de corazas cilíndricas de espesor dr, longitud L y distancia al eje del conductor r. La contribución será tal que así:

$dR = \frac{\alpha . dr}{2 . \pi . L .{r}^{3}}$

La resistencia del conductor para esa distancia L será la suma EN PARALELO de esas contribuciones.

$\frac{1}{R} = \int \frac{2 . \pi . L .{r}^{3}}{\alpha . dr}$ Con los limites de integracion desde 0 hasta $\sqrt{\frac{S}{\pi}}$ puesto que no nos dan explicitamente el radio como dato, luego sabiendo la seccion del conductor, pongo el radio en funcion de la misma.

y a partir de aquí, ni idea de como seguir puesto que yo no se integrar eso

Agradeceria que me dijerais donde he fallado!

Un saludo y gracias.

[Marce_]

Re: Resistencia de un conductor de seccion circular S y radio L con resistividad no uniforme.

La resistencia del conductor para esa distancia L será la suma EN PARALELO de esas contribuciones.

Seguro?. Probaste integrando sin invertir?. No me cierra la parte del paralelo. Pensandolo terrenalmente, sobre el conductor pasará la misma corriente (exceptuando fenómenos de altas frecuencias).

[Piqueroide]

Re: Resistencia de un conductor de seccion circular S y radio L con resistividad no uniforme.

He probado a no invertir y no me coincide con el resultado que me tiene que salir... Estoy de acuerdo contigo de que va a pasar por el conductor la misma corriente, pero sin embargo no estamos integrando discos de espesor dl y seccion S sino corazas cilindricas, porque la resistividad varia en funcion de la distancia radial al eje, no en funcion de la longitud (en ese caso si seria sumar en serie).

[oscarmuinhos]

Re: Resistencia de un conductor de seccion circular S y radio L con resistividad no uniforme.

Hola Piqueroide

Siguiendo lo que dice Marce de que considerar esas contribuciones en paralelo no tiene sentido, pues las cargas fluyen longitudinalmente no transversalmente, creo que se puede razonar calculando la conductancia en lugar de la resistencia

$\dst R = \rho \frac{L}{S}$ implica $\dst \frac{1}{R}= G = \frac{1}{\rho}.\frac{S}{L}$ y $\dst dG = \frac{1}{\rho}.\frac{dS}{L}$

Por lo tanto, $\dst dG = \frac{r^2}{a}.\frac{2\pi.r.dr}{L}$

Integrando entre $r=0$ y $r = R$ se obtiene la conductancia y la inversa de esta conductancia será la resistencia.

Saludos

[Piqueroide]

Re: Resistencia de un conductor de seccion circular S y radio L con resistividad no uniforme.

Muchas gracias Oscar, todo claro!

- - - Actualizado - - -

Solo una cosa Oscar, a la hora de integrar la conductancia, que tomas por elementos diferenciales de área, anillos de radio r y espesor dr?

[oscarmuinhos]

Re: Resistencia de un conductor de seccion circular S y radio L con resistividad no uniforme.

Solo una cosa Oscar, a la hora de integrar la conductancia, que tomas por elementos diferenciales de área, anillos de radio r y espesor dr?

Efectivamente. $dS = 2\pi.r.dr$

Saludos

[visitante20160513]

Re: Resistencia de un conductor de seccion circular S y radio L con resistividad no uniforme.

Porqué falla el razonamiento de Piqueroide, pues porque la integración de elementos es una suma y todos sabemos que las resistencias en paralelo no pueden sumarse sino que deben ser sometidas a otra operación distinta. En resumen, para hallar la resistencia equivalente de las infinitas capas de conductor no puede realizarse una integración. Sin embargo, como bien apuntó Oscar, las admitancias o conductancias en paralelo sí se suman y por lo tanto sí puede realizarse una integración para hallar la conductancia equivalente a la de las infinitas capas de conductor. Una vez obtenida la conductancia total, la resistencia equivalente se obtiene fácilmente hallado el inverso de la conductancia equivalente. Esta forma de razonar con las conductancias que nos propuso Oscar es equivalente a suponer que la corriente total que atraviesa la sección total del conductor es la suma de las corrientes que atraviesan cada uno de los elementos de resistividad constante en que se descompone dicha sección, que es lógicamente la forma correcta de hacerlo.

Salu2