2o ciclo Sentido de la tensión en el capacitor.

[leo_ro]

La transformada de laplace para la tension del capacitor tiene la siguiente forma:

$\dst {V}_{C} (S) = \frac{I}{SC }+ \frac{{V}_{C}({0}^{-})}{S }$

Para el siguiente circuito:
En donde el capacitor tiene una carga inicial de V(0-)=35.16 V con el sentido de la tensión como se muestra en la imagen


De manera que se puede representar de la siguiente manera:



Lo que me piden es encontrar $\dst {V}_{c} (t)$

De manera que para simplificar utilizo kirchofft



$\dst \frac{{V}_{th}}{S } - I {R}_{th} - \frac{I}{SC }=0$

$\dst I = \frac{{V}_{th}}{{R}_{th} (S+\frac{1}{{R}_{th} C }) }$

De manera que la tensión en el capacitor es:

$\dst {V}_{C} (S) = \frac{I}{SC }+ \frac{{V}_{C}({0}^{-})}{S }$

Reemplazando:

$\dst {V}_{C} (S) = \frac{1}{SC }. \frac{{V}_{th}}{{R}_{th} (S+\frac{1}{{R}_{th} C }) } + \frac{{V}_{C}({0}^{-})}{S }= {V}_{th}\frac{1/({R}_{th}C)}{S (S+\frac{1}{{R}_{th} C }) }+ \frac{{V}_{C}({0}^{-})}{S }$

$\dst \Rightarrow {V}_{C}(t) = {V}_{th} (1- {e}^{-\frac{t}{{R}_{th}C }}) + {V}_{({0}^{-})}$

El problema es que el primer término de la tensión del capacitor debe ser negativo y no sé donde fallo en el planteo o en la resolución algebraica. Probado por simulación.

Saludos y gracias.

[Marce_]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

Hola Leo:


Puede ser que el error esté en el equivalente de thevenin?. La ecuación en el dominio de la frecuencia compleja es correcta. La polaridad te la da el problema o es un capacitor con polaridad?, porque si tiene polaridad (un electrolítico por ejemplo), revienta así conectado.


Te cuento como lo hice:


Apliqué thevenin en el primer circuito tomando como carga el capacitor:

Recorriendo la malla:

$$V_{TH} - IR_{TH} -V_C = 0$$

$$V_{TH} - CR_{TH} \dfrac{\dd V_{C}(t)}{\dd t} -V_{C}(t) = 0$$

Transformo Laplace:

$$\dfrac{V_{TH}}{S} - CR_{TH} \left(S V_{C}(S)- V_{C}(0^-)\right) - V_{C}(S) = 0$$

Llamemos $\dst \alpha = CR_{TH}$:

$$V_{C}(S) = \dfrac{V_{TH}}{S(S\alpha + 1)} + \dfrac{\alpha V_{C}(0^-)}{(S\alpha + 1)}$$

Al término de la izquierda, saco $\dst \alpha$ factor común y luego hago fracciones simples. Al de la derecha al sacar $\dst \alpha$ factor común, queda una transformada de tabla.


Antitransformando y agrupando:

$$\boxed{V_{C}(t) = e^{\left(-\dfrac{t}{\alpha}\right)} \left[ V_{C}(0^-) - V_{TH} \right] + V_{TH}}$$

No me gusta la apariencia, pero es coherente. A $\dst t=0$ ,$\dst V_{C}(t) = V_{C}(0^-)$ y a $\dst t\to\infty$ , $\dst V_{C}(t) = V_{TH}$.


El gráfico pertinente:

Un abrazo.-

[leo_ro]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

No, el capacitor no es electrolítico. Esa polaridad le quedó como situación inicial, es decir, por una carga anterior. La cuestión es que anteriormente tomé el sentido de la corriente como antihorario. Si la mantengo la ecuación de kirchoff sería:

$\dst \frac{{V}_{th}}{S } - \frac{I}{S C } - I {R}_{th}=0$

despejando la corriente para luego encontrar Vc(s)

$\dst I = \frac{{V}_{th}}{{R}_{th} (S + \frac{1}{{R}_{th}C }) }$ (1)

Ahora como la ecuación de la tensión en el capacito es:

$\dst {V}_{C}(S) \frac{I}{SC }+ \frac{{V}_{c}({0}^{-}}{S }$ (2)

Reemplazando (1) en (2)

$\dst {V}_{C}(S) =\frac{1}{SC } \frac{{V}_{th}}{{R}_{th} (S + \frac{1}{{R}_{th}C }) }+ \frac{{V}_{c}({0}^{-}}{S }$

Como se observa si antitransformamos:

$\dst {v}_{c}(t) = \frac{{V}_{th}}{{R}_{th}} (1-{e}^{-\frac{t}{{R}_{th}C}}) + {V}_{c}(0)$

El primer término de la ecuación $\dst \frac{{V}_{th}}{{R}_{th}} (1-{e}^{-\frac{t}{{R}_{th}C}})$ quedó positivo pero debe quedar negativo porque el capacitor se descarga.

En particular, es el punto 2 del siguiente ejercicio. Una vez ya pasado la parte 1.



PD: Sé que debe quedar negativo ya que sino las graficas de las tensiones en el capacitor quedan cortadas, es decir, con saltos.

[Marce_]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

Ahora te entendí!. El tema es que -más allá del signo del término- y suponiendo que se te escapó en la última ecuación el $\dst R_{th}$, no me convence el término en si. Olvidémonos de los signos un segundo, a $\dst t\to\infty$ te queda que $\dst {V}_{C}(t) = {V}_{th} + {V}_{({0}^{-})}$, y si fuera negativo, te quedaría $\dst {V}_{C}(t) = -{V}_{th} + {V}_{({0}^{-})}$ y es un absurdo de las dos formas, ya que, como hay un régimen permanente, el capacitor va a adaptarse a la tensión de la fuente.

Te muestro mi simulación. Por cuestiones prácticas, tuve que poner como condición inicial al capacitor una tensión positiva y di vuelta la fuente de Thevenin (en realidad vendría a ser lo mismo):

La traza roja corresponde al escalón de -75v (la fuente), y la verde a la tensión en el capacitor. Ahí se ve que a $\dst t\to\infty$ , la tensión del capacitor siempre se va a terminar adaptando a la fuente. Esta misma gráfica (rotada, es decir, con $\dst V_{th}$ positiva) , se obtiene con la ecuación a la que había llegado anteriormente, pero con una condición inicial de -35.16v

Por último, de la simulación se obtiene que a los $\dst 2us$, la tensión del capacitor todavía no pasó por cero, es decir, sigue siendo negativa (con respecto a la fuente), pero en módulo inferior a la inicial. Para evitar la discontinuidad de salto (asumo que tomaste como que la tensión en el punto 1) del capacitor es positiva), podés justamente tomar la fuente del punto 2) como negativa y la condición inicial positiva.

Si hay algo que no estoy logrando ver avisame. Es un problema interesante!.

Un abrazo.-

[Breogan]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

Hola:

El problema lo veo bien planteado y resuelto leo-ro, a excepción de la resistencia equivalente de Thevenin que el valor debería ser de 10 Ohm. El problema radica en el signo que le adjudicas a V(0-), tenes que tener en cuenta que el signo de una ddp depende si corresponde a una carga o a una fuente, cuando planteas la ecuación:

$\dst {V}_{c} (s) = \frac{I}{sC }+ \frac{{V}_{c}({0}^{-})}{s}$

que puede ser que en su forma temporal sea mas fácil de ver lo que voy a tratar de explicar:


$\dst v_c(t) = \frac 1 C \ \int \ i(t) dt \ + \ v_c(0^-)$

El 1º termino del segundo miembro tiene su signo, por convención este es positivo y la corriente que circula por el capacitor lo hace del extremo de mayor potencial al de menor potencial (caída de potencial), teniendo en cuenta esto y que en este caso la corriente circula del polo negativo al polo positivo de la tensión inicial del capacitor vc(0-) (subida de potencial), siguiendo la convención de signo para la ddp en cargas, resulta que el signo de este debe ser negativo, es decir:

$\dst v_c(0^-) = - |v_c(0^-)| \quad \Rightarrow \quad V_c(0^-) = - |V_c(0^-)|$

y las primera quedan:

$\dst {V}_{c} (s) = \frac{I}{sC }- \frac{|{V}_{c}({0}^{-})|}{s} \quad y \quad \dst v_c(t) = \frac 1 C \ \int \ i(t) dt \ - \ |v_c(0^-)|$

POr si no me esplique bien, podemos plantear las ecuaciones en dominio del tiempo y en el de s, para el circuito con Eth=75V y Rth=10 ohm:

$\dst E_{th} - i(t) R_{th} - \underbrace{ \left( \frac 1 C \ \int \ i(t) dt + v_c(0^-) \right)}_{\dst v_c(t)} = 0$

pero como resulta que $\dst v_c(0^-) = - |v_c(0^-)|$ entonces:

$\dst E_{th} - i(t) R_{th} - \underbrace{ \left( \frac 1 C \ \int \ i(t) dt - |v_c(0^-)| \right)}_{\dst v_c(t)} = 0$

y queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que transformada:

$\dst \frac {E_{th}} s - I(s) R_{th} - \frac 1 {sC} \ I(s) + \frac {|V_c(0^-)|} s = 0$

Espero no haberme equivocado y que se entienda, el tema de los signos siempre me ha confundido cuando tengo que aplicarlo y encima explicarlo mas dificil.

Fíjate que a partir de los signos que te propongo, la tensión en el capacitor parte de un valor negativo de modulo igual a la condición inicial y se acerca asintoticamente al valor de la tensión equivalente de Thevenin, lo cual parece bastante logico.

s.e.u.o.

Suerte

PD: completo un par de ecuaciones mas. De la ultima que puse:

$\dst E_{th} + |V_c(0^-)| = I(s) \ s \left( R_{th} + \frac 1 {sC} \right)$

$\dst E_{th} + |V_c(0^-)| = I(s) \ R_{th} \left( s + \frac 1 {R_{th} \ C} \right)$

$\dst I(s) = \frac {E_{th} + |V_c(0^-)|} {\dst \ R_{th} \left( s + \frac 1 {R_{th} \ C} \right)}$

Esta ultima es la que pusiste vos, considerando que lo que vos llamas Vth, en mi planteo resulta Eth+|Vc(0-)|.

Suerte

[leo_ro]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

A ver si entendí. La fuente ${V}_{c}({0}^{-0}$ no se toma como una fuente de tensión sino como una carga. Es por esto que como una carga al circular una corriente tiene que haber una caida y en este caso hay una subida. Es por esto que se cambia el signo.
Lo que yo pensaba es que como los dos términos de Vc son del mismo signo en la expresión siempre tendrían el mismo signo. Y se ve que no es así.

Otra cosa que me explicaron. Yo en el primer punto tomé el sentido de la corriente como se muestra en rojo. En azul se ve en sentido de la corriente en el capacitor. Ese sentido yo lo considero como positivo.



Ahora bien para el punto 2. Sigo teniendo el mismo sentido de corriente. Como se muestra en rojo, pero para ese sentido el sentido de la corriente que pasa por el capacitor es como se muestra en azul. Y en verde muestro el sentido que tenía la corriente en el paso anterior (que sea de paso lo tomé como positivo) Se observa que son de sentidos opuesto.



Me han dicho que para este punto dos el sentido de la corriente será positivo si es el sentido de la flecha verde. Es decir, en el circuito el sentido de la corriente sería negativo si lo tomo como sentido horario (sentido que tomé positivo en el punto anterior) Por lo que observo que el sentido de la corriente en este paso 2 depende del sentido que tubo en el capacitor en el paso anterior. Como si el capacitor es la referencia para el sentido de las corrientes en pasos posteriores.

Es decir, en este caso el sentido de la corriente positiva es como se muestra:




Lo que no veo ó entiendo es la interpretación física de porqué es así. Y eso que lo vengo pensando hace varios días.

[Breogan]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

Hola:

A ver si entendí. La fuente ${V}_{c}({0}^{-0}$ no se toma como una fuente de tensión sino como una carga. Es por esto que como una carga al circular una corriente tiene que haber una caida y en este caso hay una subida. Es por esto que se cambia el signo.
Lo que yo pensaba es que como los dos términos de Vc son del mismo signo en la expresión siempre tendrían el mismo signo. Y se ve que no es así.

1º tenes que entender que Vc(0-) no es una fuente que existe en forma independiente de la existencia del capacitor, en realidad ambas forman una única entidad que se representa en partes separadas por comodidad. No dibujo el circuito, pero trabajamos sobre el circuito formado por Eth, Rth, Vc(0-), y C todos en serie, y con Eth y Vc(0-) con la misma polaridad y por lo tanto consideramos sus valores nominales como positivos ( $V_c(0^-) = |V_c(0^-) |$ ). Elegís un sentido para la corriente, y en base a este realizas la circulación obteniendo p.e. la siguiente ecuación:

$\dst \frac {E_{th}} s + \frac {V_c(0^-)} s - I(s) R_{th} - \frac 1 {s C} I(s) = 0$

reagrupando:

$\dst \frac {E_{th}} s - I(s) R_{th} - \left( \frac 1 {s C} I(s) - \frac {V_c(0^-)} s \right)= 0$

y como se ve el signo delante de Vc(0-) cambia al asociarlo con la caída de tensión en el capacitor, lo importante no es solo el signo de dicha tensión sino el signo de este referido a que. Si ( en este caso) lo comparas con el de la fuente de Thevenin tienen el mismo signo, si lo comparas con la caída de tensión instantánea en el capacitor tienen signos opuestos, de ahi que aparecen con signos opuestos cuando expresas la dpp en el capacitor:

$\dst V_c(s) = \frac 1 {s C} I(s) - \frac {V_c(0^-)} s$

Para completar, si hubieras elegido el sentido contrario para la corriente tendrías que la circulación queda:

$\dst - \frac {E_{th}} s - \frac {V_c(0^-)} s - I(s) R_{th} - \frac 1 {s C} I(s) = 0$

reagrupando:

$\dst - \frac {E_{th}} s - I(s) R_{th} - \left( \frac 1 {s C} I(s) + \frac {V_c(0^-)} s \right)= 0$

entre ambos planteos solo cambia el signo de I(s).

En cuanto al 2º problema que pones, te recomiendo que abras un nuevo hilo con este, donde podamos resolverlo (vos, yo u otros) paso por paso.
Solo te adelanto que estos tipos de problemas suelen ser una sucesión de distintos problemas-circuitos en el tiempo, donde las condiciones iniciales de un circuito están dadas por las condiciones finales del circuito anterior, y esta es la única influencia entre ellos. En cuanto a la elección del sentido de las corrientes en uno u otro circuito son independientes entre si, son arbitrarios (aunque suele haber mejores o peores elecciones, pero todas correctas) y en base a su elección determina el sentido de las diferentes ddp.

Suerte

[leo_ro]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

Ahora sé que el segundo término de la ecuación de la tensión del capacitor es en valor absoluto:

${V}_{c}(S)= \frac{I}{SC }+ \left\vert{} {V}_{c}({0}^{-})\right\vert{}$

Lo que me presta a la confución es la tensión en una inductancia porque el segundo término tiene explícito un signo negativo:

${V}_{L} (S) = ISL - Si({0}^{-}$

¿Por qué es esto? En el caso del capacitor es una adicción que es un caso general, el signo de Vc(0-) luego se colocará.

[Breogan]

Re: Sentido de la tensión en el capacitor.

Hola:

Ahora sé que el segundo término de la ecuación de la tensión del capacitor es en valor absoluto:

${V}_{c}(S)= \frac{I}{SC }+ \left\vert{} {V}_{c}({0}^{-})\right\vert{}$

Lo que me presta a la confución es la tensión en una inductancia porque el segundo término tiene explícito un signo negativo:

${V}_{L} (S) = ISL - Si({0}^{-}$

¿Por qué es esto? En el caso del capacitor es una adicción que es un caso general, el signo de Vc(0-) luego se colocará.

Creo que hay una especie de confusión, me parecio que ya habíamos acordado que:

$\dst {V}_{c} (s) = \frac{I(s)}{sC }- \frac{|{V}_{c}({0}^{-})|}{s}$

Para tratar de entender el signo de las condiciones iniciales en el caso del capacitor y la inductancia, me parece mas efectivo empezar por lo mas simple.
Empecemos por el capacitor, adjunto un dibujo:

Para el capacitor podemos plantear la ecuación temporal característica de el, figura de la izquierda:

$\dst v_C(t) = \frac 1 C \ \int \ i(t) \ dt + v_C(0^+)$

acá cabe aclarar algo, como criterio (no se si propio o aprendido en su momento) hay que distinguir entre el valor $v_C(0^+)$ que es un valor genérico de la condición inicial, que implícitamente puede ser negativo, nulo o positivo, dependiendo del sentido de la condición inicial, pero que siempre aparece sumando en la transformada; y el valor $v_{C0}$ que es el valor nominal de la condición inicial, siempre positivo. Con este criterio siempre la transformada sera:

$\dst V_C(s) = \frac 1 {sC} \ I(s) + \frac {V_C(0^+)}{s}$

en este punto tenemos que explicitar el sentido de la condición inicial, aquí resulta que si la ddp de la condición inicial tiene el mismo sentido (indicado en azul en el dibujo) que la caída de tensión que produce la circulación de corriente en el capacitor (indicado en negro debejo del capacitor en el mismo dibujo), resulta que:

$\dst V_C(0^+) = V_{C0}$

y la transformada queda:

$\dst V_C(s) = \frac 1 {sC} \ I(s) + \frac {V_{C0}}{s}$

Si ambas ddp tuvieran sentidos opuestos resultaría que:

$\dst V_C(0^+) = - V_{C0}$

y la transformada queda:

$\dst V_C(s) = \frac 1 {sC} \ I(s) - \frac {V_{C0}}{s}$

En el caso de la figura de ejemplo es la 1º situación:

$\dst V_C(s) = \frac 1 {sC} \ I(s) + \frac {V_{C0}}{s}$

esta ecuación justifica la figura de la derecha del anterior dibujo, que es el gráfico transformado del circuito. La ddp total en el capacitor, en el dominio s, es igual a la suma de dos ddp, una debida a la condición inicial y otra debida al capacitor propiamente dicho.

Siguiendo con el solenoide adjunto dibujo:

Planteamos la ecuación temporal característica para el solenoide:

$\dst v_L(t) = L \ \frac {d i(t)}{dt}$

si sobre esta ecuación aplicamos la transformación de Laplace queda:

$V_L(s) = L \ \left[ s I(s) - I_L(0^+) \right]$

$V_L(s) = s L I(s) - L I_L(0^+)$

Las mismas consideración respecto de signos hecha para el capacitor:

$\dst - \infty < I_L(0^+) < \infty \quad y \quad I_{L0} \geqslant 0$

y por otra parte si la condición inicial de la corriente tiene el mismo sentido que la I(s), resulta que:

$\dst I_L(0^+) = I_{L0}$

y la transformada queda:

$V_L(s) = s L I(s) - L I_{L0}$

que es el caso representado en la figura anterior, y que ademas justifica la forma del gráfico de la derecha de la misma figura.

El otro caso es que la condición inicial de la corriente tenga sentido contrario a I(s) resulta que:

$\dst I_L(0^+) = - I_{L0}$

y la transformada queda:

$V_L(s) = s L I(s) + L I_{L0}$

Hay que destacar que todo este desarrollo es útil para fijar conocimientos, pero en la resolución de problemas normalmente lo que se hace es que a partir del circuito original con sus correspondientes condiciones iniciales, se obtiene el circuito transformado (incluyendo las condiciones iniciales transformadas) y se aplican las correspondientes leyes de Kirchoff para su resolución.

También cabe aclarar que la ddp entre dos puntos del circuito original, se transforma en la ddp entre los mismos puntos del circuito transformado incluyendo las condiciones iniciales que existan entre esos mismos puntos.

Para fijar ideas pongamos un ejemplo sencillo. Circuito RLC con condiciones iniciales vC(0+) e iL(0+) de las cuales no se indican sus sentidos, indicado en el siguiente dibujo:

Planteamos la ecuación integro-diferencial:

$\dst V_f - v_R(t) - v_L(t) - v_C(t) = 0$

$\dst V_f - R \ i(t) - L \ \frac {di(t)}{dt} - \frac 1 C \ \int \ i(t) \ dt = 0$

$\dst V_f = R \ i(t) + L \ \frac {di(t)}{dt} + \frac 1 C \ \int \ i(t) \ dt$

Transformamos la ecuación anterior, aun sin saber el sentido de las condiciones iniciales, y queda:

$\dst V_f = R \ I(s) + L \ \left[ s I(s) - I_L(0^+) \right] + \left[ \frac 1 {sC} \ I(s) + \frac {V_C(0^+)} s \right]$

Esta ecuación es valida cualquiera sea el sentido de las condiciones iniciales.
Supongamos que ahora te dan otra figura donde si figuran las c.i.:

de esta figura se ve que iL0 tiene el mismo sentido que i(t), por lo cual:

$\dst I_L(0^+) = I_{L0}$

y vC0 tiene sentido contrario a vC(0+), por lo cual:

$\dst V_C(0^+) = - V_{C0}$

y la ecuación transformada queda:

$\dst V_f = R \ I(s) + L \ \left[ s I(s) - I_{L0} \right] + \left[ \frac 1 {sC} \ I(s) - \frac {V_{C0}} s \right]$

Hasta acá una forma de solucionarlo.
En la otra forma, mas usual, primero redibujamos el circuito de la figura 2 (opcional):

En base a este podemos encontrar el circuito transformado en el dominio de s, hay varias opciones en este caso, yo pongo dos formas equivalentes. La usualmente usada es la indicada en la figura 5:

De la figura 5 podemos plantear directamente que:

$\dst V_f = R \ I(s) + s L \ I(s) - L I_{L0} + \frac 1 {sC} \ I(s) - \frac {V_{C0}} s$

Que si no me equivoque da lo mismo que en el punto anterior. Espero se entienda.

Mañana reviso si todo esta bien.

s.e.u.o.

Suerte

[Alriga]

Para el siguiente circuito:

En donde el capacitor tiene una carga inicial de V(0-)=35.16 V con el sentido de la tensión como se muestra en la imagen, hallar la tensión en el condensador.

Procedemos a la resolución completa de este antiguo ejercicio que ha sido visitado muchas veces aplicando Transformadas de Laplace, para ayuda de futuros estudiantes de electrotecnia que lo consulten. En el dominio operacional el esquema eléctrico que se obtiene teniendo en cuenta la carga inicial de 35.16 V del condensador de 1 $\mu F$ es:

Vamos a aplicar el método de los nudos (basado en la primera ley de Kirchhoff) con los sentidos arbitrarios de las corrientes dibujadas en el esquema:

$\dfrac{\dfrac{35.16}s-U}{\dfrac{10^6}s}=\dfrac U{20}+\dfrac{U+\dfrac{150}s}{20}$

Despejamos la tensión en el dominio operacional del condensador "U" :

$U(s)=\dfrac{3 (293 s-62.5\cdot 10^6)}{25 s (s+100000)}$

Separamos en sumandos:

$U(s)=-\dfrac{75}s+\dfrac{2754}{25 (s+100000)}$

Hallamos la Transformada Inversa de Laplace:

$$u(t)=-75+\dfrac{2754}{25} \ \ee^{-100000 \ t}$$

Saludos.