1r ciclo Campo y potencial en un casquete esférico

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, tengo dudas con el siguiente ejercicio:




No sé muy bien por dónde atacarlo, sé que Q=p V, pero no sé si la densidad es la misma en toda la región, ni que volumen tomar, aunque creo, que es la resta de las dos.

Gracias

[Al2000]

Re: Campo y potencial en un casquete esférico

No puedes usar $Q= \rho v$ para calcular la carga porque la densidad $\rho$ no es constante. Debes considerar un elemento de volumen muy pequeño (de manera que la densidad de carga sea esencialmente constante), establecer que la carga de ese pequeño volumen es $dq = \rho \, dv$ y sumar (integrar) a todo el volumen con carga.

En este problema, debido a la simetría esférica que presenta $\rho$, lo mas simple es considerar como elemento de volumen una cáscara de radio $r'$ y grosor infinitesimal $dr'$. El volumen de esta cáscara es $dv = 4 \pi (r')^2\, dr'$ y la carga en esta cáscara será $dq = \rho_{(r')}\, dv = 4 \pi A (r' - a) (r')^2\, dr'$. Integra desde $a$ hasta $b$ para hallar la carga del casquete.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Castelao]

Re: Campo y potencial en un casquete esférico

El apartado b) puedes hacerlo por la ley de Gauss para calcular el campo fuera del casquete:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Una vez hayas calculado [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , que será la hallada mediante integración más la carga puntual que te da el ejercicio. Según el ejercicio, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para dentro del casquete, tienes una carga puntual y aplicas otra vez la ley de Gauss y obtienes la ley de Coulomb.

Para el espacio intermedio entre los dos radios, aplicas nuevamente Gauss, teniendo en cuenta que la densidad de carga es variable con $r'$

Y, finalmente, para calcular el potencial haces uso de que $\vec{E}=-\nabla V$ e integras (sólo te va a hacer falta para el campo en el espacio intermedio entre los dos radios, en los otros dos casos ya lo sabes sin necesidad de integrar).

Saludos

[sater]

Re: Campo y potencial en un casquete esférico

Para el espacio del medio ¿se podría resolver que $\nabla\cdot\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$
Y luego aplicar el principio de superposición sumándole el campo creado por la puntual?
Pd: perdón por resucitar el hilo pero estoy con ese mismo problema

[relojdepared]

Re: Campo y potencial en un casquete esférico

El otro dia el profesor me comento que no es un casquete sino una corona. Se supone que en un casquete se complicaria mucho mas.