2o ciclo Máxima tensión que soporta este capacitor

[leo_ro]

Sólo quiero saber si el problema está bien planteado y resuelto:

Un condensador esférico está compuesto por dos capas dieléctricas concéntricas, la interior es de porcelana (${\varepsilon}_{r}=4.5$ , ${E}_{max }=45 [KV/cm]$) y la exterior es aire (${E}_{d}=30 [KV/cm]$); si a= 2[mm] , b= 1 [cm] y c=3 [cm]. ¿Cuál será la máxima tensión aplicable sin ruptura?

La capacitancia del sistema no es problema:

$\dst C1= 4 \pi 4.5 {\varepsilon}_{0} \frac{0.002 [m] 0.01 [m]}{ 0.01 [m]-0.002[m]}= 1.25 [pF]$

$\dst C2= 4 \pi {\varepsilon}_{0} \frac{0.03 [m] 0.02 [m]}{ 0.03 [m]-0.01[m]}= 1.67 [pF]$

Ambos capacitores están en serie así que la capacitancia del sistema es:

$\frac{1}{Ct }=\frac{1}{C1 }+\frac{1}{C2 }\Rightarrow Ct= 0.71 [pF]$

Para encontrar la carga primero tomo en cuanta la carga que genera un campo eléctrico igual al máximo valor que soportaría en el extremo superior de la porcelana.

$\dst 4500 [KV/m] = \frac{q}{4 \pi 4.5 {\varepsilon}_{0} {(0.01[m])}^{2} }$ $\Rightarrow q =4500 [KV/m]4 \pi 4.5 {\varepsilon}_{0} {(0.01[m])}^{2}=9 [nC]$

Para saber el valor del campo que genera esa carga en el lado del aire debo recurrir a la densidad de desplazamiento eléctrico por la condición en los límites:

$\dst D= \frac{9 [nC]}{4 \pi {(0.01[m])}^{2} }= 7.168 [\mu C / {m}^{2}]$

$\dst \Rightarrow {E}_{aire}= {\varepsilon}_{0} 7.168 [\mu C / {m}^{2}]= 809.94 [KV/m]$

Que se sobrepasa del máximo campo que puede soportar el aire. Así que para encontrar la carga debo tomar:

$\dst D= 3000 [KV/m] {\varepsilon}_{0} = 26.5 [\mu C / {m}^{2}]$

$q= 26.5 [\mu C / {m}^{2}] 4 \pi {(0.01[m])}^{2} = 33.3 [nC]$

¿Cómo es posible que me de una carga mayor? No sé que estoy haciendo mal.

[Al2000]

Re: Máxima tensión que soporta este capacitor

Para una carga $q$, el máximo campo en la porcelana ocurre en $r = a$ y vale $\dst E_\text {porc} = \frac q {4 \pi \epsilon_r \epsilon_0 a^2}$, mientras que el máximo campo en el aire ocurre en $r = b$ y vale $\dst E_\text {aire} = \frac q {4 \pi \epsilon_0 b^2}$. Plantea las dos desigualdades con las respectivas tensiones de ruptura y quédate con la carga mas pequeña:

$$q = \min \left(4 \pi \epsilon_r \epsilon_0 a^2 E_\text {max},\, 4 \pi \epsilon_0 b^2\, E_\text {d}\right) = 4 \pi \epsilon_0 \min \left(\epsilon_r a^2 E_\text {max},\, b^2\, E_\text {d}\right) = 9\,\mathrm{nC}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[leo_ro]

Re: Máxima tensión que soporta este capacitor

Muchas gracias por la respuesta.