1r ciclo Resolver circuito mediante transformada de laplace

[Nitroni]

Bueno aqui dejo este problema que tengo que resolverlo mediante transformada de laplace, aunque no consigo sacar la solucion del mismo.

Este es procedimiento que he utilizado:

1º Como hay dos fuentes, una alterna y otra continua. Primero elimino la fuente de alterna para calcular el voltaje del condensador en regimen permanente $t(\infty)$

Resultando:

Continua ----> $\displaystyle{U}_{cp }(s) = \frac{10/s2/3}{ 2/3 + 3}= \frac{20}{11s }$

Ahora cuando elimino la fuente de continua es cuando tengo el problema porque no se como calcular el voltaje en el condensador en alterna.

Esto es lo que he hecho. Obtengo el paralelo de las resistencias de 2 y 3 ohmios. A continuacion hago el pararelo del condensador con equilavente del paralelo de las resistencias de 2 y 3 ohmios.

Resultando:

$Z(s)=\displaystyle \frac{12}{10+6s }$. Ahora es cuando no se lo que tengo que hacer. Aplico divisor de voltaje para encontrar el votaje?

${U}_{cp }(s)= \displaystyle \frac{\frac{6s}{ {s}^{ 2}+ 100}\frac{12}{10 + 6s }}{ \frac{6s+ 22}{10+6s }}= \frac{720s}{ 0,16(s+3,66)({s}^{ 2}+ 100)}$

Descompongo en fracciones parciales resultando una solucion exponencial y la otra compleja, pero no salen los mismos resultados. Queria saber que estoy haciendo mal.

[Marce_]

Re: Resolver circuito mediante transformada de laplace

Te piden resolverlo específicamente por Laplace?, porque aplicando superposición -si no me equivoco-, se puede llegar al mismo resultado sin transformar.

Un abrazo.-

[Nitroni]

Re: Resolver circuito mediante transformada de laplace

Si, todos los problemas que estamos haciendo ahora nos piden resolverlos por laplace obligatoriamente.

[Marce_]

Re: Resolver circuito mediante transformada de laplace

Hola!,

No me olvide del enunciado. Ayer le dedique un par de horas pero no logro llegar a la solución mediante ecuaciones diferenciales (estoy teniendo algún error de concepto que no logro dilucidar). Si ya lo resolviste y tenés tiempo, podrías transcribir la solución?. Te muestro a lo que llegué:

La forma de la respuesta es la misma, tanto gráficamente como analíticamente, pero tengo un error de coeficientes.

Un abrazo.-

[Nitroni]

Re: Resolver circuito mediante transformada de laplace

Bueno, voy a hacerlo por ecuaciones diferenciales para que veas la solucion que obtengo:

Para regiment permanente de la fuente de continua:

${U}_{p} = \frac{20}{ 11}$

Por tanto la constante seria :

$\displaystyle{u}_{ c}({0}^{-})={u}_{c }({0}^{+})=5$

$\displaystyle K= {U}_{c }({0}^{ -}) - {U}_{p }= 5 - \frac{20}{11 }= \frac{35}{11 }$

$\displaystyle{u}_{ c}(t)= \frac{35}{ 11}e^{\frac{-11}{3 }t }+ \frac{20}{ 11}$

Para alterna:

$\displaystyle{u}_{p }=\frac{1,18<-80,54}{1,05<-10,72 }= 1,13 < -69,86$

$\displaystyle {u}_{ p}(t)=1,13 \cos(10t - 69,86)$

$\displaystyle {u}_{c }(t)= 1,13 \cos(10t - 69,86) + {u}_{c }({0}^{+})-{u}_{p }\cos(-69,86)]e^\frac{-11t}{3 }$

$\displaystyle {u}_{c }(t)= 1,13 \cos(10t - 69,86) + 4,62e^\frac{-11t}{3 }$

La respuesta general sera entonces la suma de las dos .

$\displaystyle {u}_{c }(t)=1,13 \cos(10t - 69,86) + 7,8e^\frac{-11t}{3 } + \frac{20}{ 11}$

Este es el resultado que obtengo. No se si sera igual que el tuyo pero creo que no.Despues mas tarde lo resolvere por laplace.

- - - Actualizado - - -

Bueno, voy a hacerlo por ecuaciones diferenciales para que veas la solucion que obtengo:

Para regiment permanente de la fuente de continua:

${U}_{p} = \frac{20}{ 11}$

Por tanto la constante seria :

$\displaystyle{u}_{ c}({0}^{-})={u}_{c }({0}^{+})=5$

$\displaystyle K= {U}_{c }({0}^{ -}) - {U}_{p }= 5 - \frac{20}{11 }= \frac{35}{11 }$

$\displaystyle{u}_{ c}(t)= \frac{35}{ 11}e^{\frac{-11}{3 }t }+ \frac{20}{ 11}$

Para alterna:

$\displaystyle{u}_{p }=\frac{1,18<-80,54}{1,05<-10,72 }= 1,13 < -69,86$

$\displaystyle {u}_{ p}(t)=1,13 \cos(10t - 69,86)$

$\displaystyle {u}_{c }(t)= 1,13 \cos(10t - 69,86) + {u}_{c }({0}^{+})-{u}_{p }\cos(-69,86)]e^\frac{-11t}{3 }$

$\displaystyle {u}_{c }(t)= 1,13 \cos(10t - 69,86) + 4,62e^\frac{-11t}{3 }$

La respuesta general sera entonces la suma de las dos .

$\displaystyle {u}_{c }(t)=1,13 \cos(10t - 69,86) + 7,8e^\frac{-11t}{3 } + \frac{20}{ 11}$

Este es el resultado que obtengo. Me pasa lo mismo que a ti que los coeficientes no son los mismos.

[Marce_]

Re: Resolver circuito mediante transformada de laplace

No no es exactamente igual , pero tuve un problema similar al principio, y es que al aplicar superposición, dupliqué las condiciones iniciales (tal cuál como está descrita tu última ecuación), de modo tal que $\dst{u}_{c }(t=0)= 10v$. La respuesta en continua me dió igual por Laplace. No lo volví a tocar todavía y quizás recién pueda mañana, pero me """parece""" (con muchas comillas), que si uno lo quiere hacer por Laplace planteando las ecuaciones diferenciales, no debe reemplazar las condiciones iniciales hasta haber sumado ambas soluciones, y toda trasformada que esté asociada a las condiciones iniciales será una constante a determinar al final.

Lo que si sabemos es que la solución es correcta al menos.

Un abrazo.-

[Alriga]

Procedemos a la resolución completa de este antiguo ejercicio que ha sido visitado muchas veces aplicando Transformadas de Laplace, para ayuda de futuros estudiantes de electrotecnia que lo consulten.

En el dominio operacional el esquema eléctrico que se obtiene teniendo en cuenta la carga inicial de 5 V del condensador de 1/2 F es:

Aplicamos el método de los nudos basado en la primera ley de Kirchhoff

$I+I_3=I_1+I_2$

$\dfrac{\dfrac{6s}{s^2+10^2}-U}1+\dfrac{\dfrac{10}s-U}3=\dfrac{U-\dfrac 5 s}{\dfrac 2 s}+\dfrac U 2$

Despejamos U

$U(s)=\dfrac{15s^3+56s^2+1500s+2000}{s (3s+11) (s^2+10^2)}$

Separamos en sumandos:

$U(s)=\dfrac{20}{11 s}+\dfrac{36}{1021} \ \dfrac{11 s+300}{s^2+10^2}+\dfrac{94137}{11231(3 s+11)}$

$U(s)=\dfrac{20}{11 s}+\dfrac{36}{1021} \ \dfrac{11 s+300}{s^2+10^2}+\dfrac{31379}{11231 \left (s+\dfrac{11}3 \right )}$

Realizamos la Transformada inversa de Laplace:

$u(t)=\dfrac{20}{11}+\dfrac{36}{1021} \ \big ( 30\sin 10 t+11 \cos 10 t \big )+\dfrac{31379}{11231} \ \ee^{-\frac{11}3 t}$

Ahora aplicamos conocidas propiedades trigonométricas:

$u(t)=\dfrac{20}{11}+\dfrac{36}{\sqrt{1021}} \ \sin \left (10 t+\arctan \dfrac{11}{30} \right )+\dfrac{31379}{11231} \ \ee^{-\frac{11}3 t}$

Y si se desea, se puede pasar el seno a coseno aplicando "ángulos complementarios"

$\sin \left (10 t+\arctan \dfrac{11}{30} \right )=\cos (10 t - 69.86^{\circ})$

Por lo tanto:

$$u(t)=\dfrac{20}{11}+\dfrac{36}{\sqrt{1021}} \ \cos (10 t - 69.86^{\circ})+\dfrac{31379}{11231} \ \ee^{-\frac{11}3 t}$$

Saludos.