Otras carreras Posición estática de cargas eléctricas

[morsh]

No se como iniciar este problema, estoy un poco confusa, Orientacion porfavor

Dos pariculas cada una de masa m y cargas q y 2q respectivamente, estan suspendidas por cuerdas de longitud l apartir de un punto en comun. encuentre el angugulo \theta que forma cada una de las cuerdas con la vertical

[jinawee]

Re: toeria electromagnetica

Empieza dibujando el diagrama de fuerza y calcula cuando se compensan las fuerzas para cada partícula.

[Alriga]

Dos partículas cada una de masa $m$ y cargas $q$ y $2q$ respectivamente, están suspendidas por cuerdas de longitud $L$ a partir de un punto en común. Encuentre el ángulo que forma cada una de las cuerdas con la vertical

Como las dos masas son iguales y las fuerzas electrostáticas sobre cada carga también son iguales y opuestas, entonces el esquema es el de la figura adjunta: las dos cargas están en la misma horizontal. La fuerza electrostática según la Ley de Coulomb es:

$F=K \ \dfrac{q\cdot 2q}{x^2}$

El equilibrio estático implica:

$T \sin A=\dfrac{2Kq^2}{x^2}$

$T\cos A=m g$

Dividiendo miembro a miembro:

$\tan A=\dfrac{2 K q^2}{m g x^2}$

De la disposición geométrica obtenemos:

$\sin \dfrac{2A}2=\dfrac{\dfrac x 2}L$

El sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (que son $x$ y $A$) a resolver es:

$$\left.\begin{matrix}<br /> \tan A=\dfrac{2 K q^2}{m g x^2} \\<br /> \\<br /> \sin A=\dfrac x{2L}<br /> \end{matrix} \, \right\}$$

Para resolverlo, lo único que se me ocurre es aplicar la identidad trigonométrica:

$$\dfrac 1{\sin^2 A}=1+\dfrac 1{\tan^2A}$$

De (3) y de la segunda ecuación del sistema obtengo:

$$\tan^2 A=\dfrac{x^2}{4L^2-x^2}$$

Combinando (4) con la primera ecuación del sistema, me sale una ecuación de 6º grado en $x$ (que si se hiciese un cambio de variable $x^2=u$ se podría convertir en una de 3er grado)

$$m^2 g^2 x^6 + 4 K^2 q^4 x^2 - 16 K^2 q^4 L^2 = 0$$

$$A=\arcsin \dfrac x{2L}$$

No sé si hay alguna manera de llegar a la solución más elegante. Pongo un ejemplo numérico, en unidades del SI:

$m=1 \ kg \quad g=10 \ m/s^2 \quad K=9\cdot 10^9 \quad q=1 \ \mu C \quad L=1 \ m$

Resuelvo numéricamente la ecuación y obtengo:

$\boldsymbol{x=0.15311 \ m} \to \boldsymbol{A=4.39^o} \to 2A=8.78^o$

Si el ángulo A es muy pequeño, en el sistema de ecuaciones se puede hacer la aproximación:

$A\approx 0 \to \tan A \simeq \sin A$

Y entonces del sistema de ecuaciones se deduce:

$$x \simeq \sqrt[3]{\dfrac{4Kq^2L}{mg}}$$

En el ejemplo que he puesto sale:

$\boldsymbol{x \simeq 0.15326 \ m}$

Saludos.

[carmelo]

$\tan (\theta)=\displaystyle\frac{2kq^2}{mgl^2\cos^2(\theta)}$
$\sin (\theta) \cos(\theta)=\displaystyle\frac{2kq^2}{mgl^2}$
$\sin (2\theta) =\displaystyle\frac{4kq^2}{mgl^2}$

[Alriga]

Hola carmelo gracias por comentar y un placer verte de nuevo por aquí

$\tan (\theta)=\displaystyle\frac{2kq^2}{mgl^2\cos^2(\theta)}$

Nota que la distancia entre las cargas $x$ no es $l \cos \theta$ en donde entiendo que tú has llamado $l$ minúscula a la longitud de la cuerda que yo he llamado $L$ mayúscula, y has llamado $\theta$ al ángulo que yo he llamado $A$

$x \neq l \cos \theta \qquad x=2 \ l \sin \theta$

$\tan (\theta) \neq \displaystyle\frac{2kq^2}{mgl^2\cos^2(\theta)} \qquad \tan (\theta) = \displaystyle\frac{kq^2}{2mgl^2\sin^2(\theta)}$

Saludos.

[carmelo]

Tienes razón. Cometí ese error grosero y quedan esas ecuaciones que tu planteas y que son algo complicadas de resolver a priori, aunque cuando se tienen los datos se pueden hacer aproximaciones para llegar al valor deseado.

Saludos coridales.