1r ciclo Electrón describiendo un movimiento armónico simple

[SCHRODINGER27]

Hola, muy buenas. No sé cómo realizar la siguiente demostración. No sé por dónde empezar ni qué procedimiento seguir. Agradecería un poco de ayuda.


Un saludo, gracias de antemano

[Marce_]

Re: Electrón describiendo un movimiento armónico simple

Hola!,

Tenés que plantear la segunda ley de Newton en cada situación y recordar que en un MAS la aceleración es proporcional al desplazamiento pero su sentido es contrario, es decir:

$$\vec {a}= - \omega^2 x$$

Para el primer caso, tomando el eje x como el eje del anillo y sabiendo que $\dst x<<<a$ tenemos que:

$$\vec{E}= \frac{Qx}{4 \pi \epsilon_{0} (a^{2}+x^2)^{3/2}} = \frac{Qx}{4 \pi \epsilon_{0} a^{3}} \hat{i}$$

Planteando la segunda ley de Newton:

$$\vec{a}= -\underbrace{\frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} a^{3}m}}_{\omega^2}x \hat{i}$$

Con la pulsación, tenés automaticamente la frecuencia.

Un abrazo.-

[Al2000]

Re: Electrón describiendo un movimiento armónico simple

De manera similar, no es difícil demostrar, usando el teorema de Gauss, que el campo en el interior de una lámina gruesa de carga vale $\dst \boldsymbol E = \frac {\rho x}{\epsilon_0} \boldsymbol i$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[visitante20160513]

Re: Electrón describiendo un movimiento armónico simple

Bueno, aquí parece que faltaría algo, tal y como yo lo veo. Según el electrmagnetismo clásico y por supuesto según los datos experimentales que se tienen al respecto una carga acelerada emite energía en forma de radiación electromagnética y por lo tanto dicha circunstancia debería tenerse en cuenta a la hora de realizar los cálculos. Pero es que además la afirmación del enunciado es falsa, porque solo podría ser verdadera si el electrón no emitiera energía en forma de radiación, en otro caso el movimiento del electrón no será nunca un MAS debido precisamente a que esa pérdida de energía no es repuesta conforme a lo descrito en el enunciado. En ese caso la amplitud o la frecuencia o incluso ambas deben ir disminuyendo gradualmente conforme se va incrementando la pérdida de energía en cada oscilación hasta que el movimiento desaparece. No estoy seguro de que pueda afirmarse que el movimiento generado en un caso así sea un movimiento armónico amortiguado, es posible que así sea, pero desde luego un MAS seguro que no lo es ya que un MAS mantiene inalterable por definición su energía mecánica (es un movimiento periódico) y eso en el caso propuesto es absolutamente falso debido a la pérdida de energía por la radiación emitida. Solo puede concluirse que el movimiento es un MAS si se desprecian dichas pérdidas, pero eso el enunciado no lo dice y quizás debería decirlo.

Si despreciamos esas pérdidas solo es necesario demostrar, y es muy sencillo hacerlo en los dos casos propuestos, que el campo eléctrico con ambas distribuciones de carga varía proporcionalmente a la distancia y es atractivo siempre, la principal consecuencia es que la fuerza en ambos casos es de la forma:

$F=-kx$

que es la principal propiedad del MAS. El resto es coser y cantar y además está expuesto en cualquier libro que trate el tema.

Salu2, Jabato.