2o ciclo Fuerza magnética entre dos conductores rectos

[leo_ro]

Sean 2 conductores rectos infinitos, separados por 1 metro, por lo cuales circula una corriente I en ambos conductores y de sentido opuesto las corrientes.

Siempre hablando de módulo tenemos que:

$\dst {B}_{1} = \mu \frac{{I}_{1}}{2 \pi d }$ (1)

Sabemos que la fuerza magnética es:

$\dst \vec{{F}_{m}}= {I}_{2} d \vec{\ell} \times {\vec{B}}_{1}\Rightarrow {F }_{m} = {I}_{2} d \ell {B}_{1}$ (2)

Reemplazando (1) en (2)

$\dst d {F }_{m} = \mu \frac{{I}_{1} {I}_{2} d \ell }{2 \pi d }$


Para la fuerza total debemos integrar en la longitud de los condutores

$\dst {F }_{m} = \mu \frac{{I}_{1} {I}_{2} }{2 \pi d } {\int}^{\infty}_{-\infty} d \ell$

El resultado es infinito ¿cómo es esto entonces?

[Al2000]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

Si existiesen dos corrientes rectilíneas de longitud infinita, la fuerza total entre ellas sería infinita. Es preferible, para que no colapse el universo, que mantengamos las corrientes finitas

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[leo_ro]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

¿Y no es así como se define el amperio?

El amperio es la cantidad de corriente constante que en dos conductores paralelos, infinitos, de sección despreciable y separados por 1 metro de distancia en el vacio produce en los conductores una fuerza de 2x10^-7 newton por metro.

[arivasm]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

Últimamente discrepo en algunas cosillas con Al. De todos modos, él me conoce y sabe que mi intención no es mala.

No encuentro problema en tener una fuerza infinita actuando sobre un conductor de longitud, y entonces también masa, infinita. Por supuesto, lo que es relevante, en cuanto a su finitud o infinitud, es la fuerza por unidad de masa del conductor, en este caso bien representada por la fuerza por unidad de longitud, que es finita.

Por supuesto, podemos preguntarnos cómo debería ser el soporte, si fuese el caso, para poder sostener inmóvil un conductor infinito, de manera que el problema continúe a ser físicamente realizable, salvo por el hecho obvio de que una longitud "infinita" deba ser reemplazada por "muy grande". La respuesta es, por supuesto, "también infinito".

La definición de amperio, que no deja de tener una importante dosis de idealización física, debe entenderse como que hace referencia a dos conductores rectilíneos y paralelos de la suficiente longitud como para que en sus porciones convenientemente alejadas de los extremos la fuerza por unidad de longitud sea la que se indica.

[leo_ro]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

Entonces sería así, retomando la fórmula de fuerza magnética:

$\dst {F}_{m} = \mu \frac{{I}_{1} {I }_{2} d\ell}{2 \pi d }$

Y siendo ${y}_{0}$ el punto medio de un cunductor muy largo.

$\dst {\int}^{{y}_{0}+0.5[m]}_{{y}_{0}-0.5[m]} \mu \frac{{I}_{1} {I }_{2} d\ell}{2 \pi d }= 2*{10}^{-7} [N]$

¿Estoy en lo correcto?

Ah, y una cosa más. Primeramente se definió a la unidad de corriente de la manera anterior y luego a partir de esto y siendo que la fuerza sobre unidad de longitud es $2*{10}^{-7} [N]$, se sacó el valor de $\mu$, ya que todos los parámetros son la unidad menos ese.

[arivasm]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

En primer lugar, no has puesto el enunciado del ejercicio, con lo que no se puede confirmar que tu operación sea correcta o no.

En segundo lugar, la expresión que has escrito como $\dst d {F }_{m} = \mu \frac{{I}_{1} {I}_{2} d \ell }{2 \pi d }$ puedes interpretarla de esta manera: $\dst \frac{\dd F_m}{\dd \ell}=\frac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}$ con lo que puedes calcular la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre el conductor.

De todos modos, insisto en la conveniencia de que pongas el enunciado.

[leo_ro]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

En realidad no es un ejercicio sino que estoy tratando de entender la definición de amperio según el SI y la definición de la permeabilidad magnética, ¿de donde sale? . Ya que me he enterado que alguno físicos piensan que la permeabilidad magnética no es una constante universal sino que es un desarrollo para que cuadren las unidades del SI.

Porque según la definición de ampere:

$\dst \frac{F}{d\ell }= 2*{10}^{-7} \frac{N}{m } = k \frac{1 [{A}^{2}]}{4 \pi 1[{m}^{2}] }$

Si se define así, entonces la constante k es solo para "arreglar" las unidades y será:

$\dst k= {\mu}_{0}= 4 \pi *{10}^{-7} \frac{N {m}^{2}}{{A}^{2} }$


Ahora cuando se defina la permitividad eléctrica $\epsilon$, debe ser un valor tal que $\dst {\mu}_{0}{\varepsilon}_{0} = \frac{1}{{c}^{2} }$
¿es lo correcto? Saludos.

[arivasm]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

La clave de esta historia es la unidad de carga: cuando se descubre la ley de Coulomb no estaba definida una.

Piensa en la ley de gravitación universal: en el momento de su descubrimiento sí estaba definida una unidad de masa; como consecuencia, un objetivo subsiguiente fue medir el valor de la constante de gravitación. Antes de seguir, permíteme que subraye que dicho valor, por supuesto, dependerá de la unidad de masa elegida. Pero eso admite una viceversa: del mismo modo que cambiar de unidad de masa cambiará el valor de la constante de gravitación nada impediría hacer lo contrario, primero sacarse de la manga una unidad de masa (sin definirla) y después otorgarle a G un valor en dicha unidad. Como ya conocemos el valor de G en otras unidades lo que nos quedaría sería calcular la equivalencia entre la unidad sacada de la manga y cualquiera de esas otras ya definidas (por ejemplo, el kg).

Como decía, cuando Coulomb descubre su ley NO había unidad de carga alguna definida. Por supuesto, se podría haber inventado una unidad de carga ("tal objeto tiene una carga de 1 tal") y luego medir la constante de Coulomb.

Pero también se puede hacer justo al revés: inventarse un valor para la constante de Coulomb y después medir las cargas de los objetos ("la carga del electrón es de tantos C").

Eso último fue lo que sucedió. Por supuesto, la primera definición para la constante de Coulomb fue darle el valor de 1 dina·cm²/ue², lo que equivalió a sacarse de la manga la unidad ue.

Subrayaré que aunque 1 es un valor muy bonito nada habría impedido decir "no, mejor que sea 9·10^9 N·m²/C²" o cualquier otra cosa semejante.

Cuando se descubre que la electricidad y el magnetismo eran dos caras de una sola moneda ese 1, que volvía tan cómodos los cálculos con la ley de Coulomb, tenía como precio otras incomodidades en el magnetismo. El motivo está en la relación que indicas, $c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$.

Es importante comprender que absolutamente nada nos impide inventarnos un valor para la constante de Coulomb (que es lo mismo que decir inventarse un valor para $\epsilon_0$). También podríamos elegir inventarnos el valor de $\mu_0$: con la relación anterior eso equivale a inventarse una constante de Coulomb. Tanto en un caso como en el otro la consecuencia es inventarse una unidad de carga, contra la cual habrá que determinar las cargas de los objetos reales.

Razones de reproducibilidad llevan a que es más cómodo manejar en vez de la unidad de carga la de intensidad de corriente: todo el discurso anterior equivale a decir "si te inventas un valor para la permeabilidad entonces te estás inventando una unidad de intensidad de corriente" (y de paso un valor para la permitividad del vacío, así como una unidad de carga).

La definición de amperio no deja de ser una cristalización de ese proceso. Para que se entienda: voy a ser pretencioso y definir mi propia unidad de intensidad, el Rivasio (R). ¿Cómo? Previamente me saco de la manga un valor para la permeabilidad; como éste es el post #8 de este hilo, diré que $\mu_0=8\ {\rm N\cdot m^2/R^2}$. La definición del Rivasio sería entonces, recurriendo a la fuerza entre dos conductores paralelos: "intensidad que deben portar dos conductores paralelos y rectilíneos, separados 1 m entre sí, de manera que la fuerza entre ellos sea de $4/\pi\,\rm N$ por cada m de conductor".

Terminaré analizando un poco por qué se recurre a la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos: porque se supone (la verdad es que nunca lo he verificado por mí mismo) que su medida es más reproducible que otras que también podríamos emplear. Con esto quiero decir que también habría valido otros fenómenos electromagnéticos; quizá la propia ley de Lorentz. Claro que entonces seguramente habrá que poner en juego medidas más complejas que la sencilla fuerza sobre un conductor.

[leo_ro]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

Uh, excelente tema.
Entonces se define el Rivasio como la corriente constante entre dos conductores paralelos infinitos separados 1 metro tal que la fuerza que experimenta el conductor sobre metro de longitud es $4/ \pi N$. De esta manera queda definida la permeabilidad magnética también siendo esta ${\mu}_{0}= 8 [ N {m}^{2} {R}^{-2}]$.
Despues vimos las ecuaciones de nuestro contemporaneo Maxwell y dedijimos que existe una relación entre el campo magnético y el campo eléctrico, que es la velocidad de la luz. De esta manera encontramos la permitividad eléctrica:

$\dst {\varepsilon }_{0} = \frac{1}{{c}^{2} 8 [N{m}^{2} {R}^{-2}] }= 1.38*{10}^{-18} [N{m}^{2} {x}^{-2}]$

Siendo X la unidad de carga que queda definida por nuestra primera definición de corriente. Así un X es la carga que, separada a 1 metro en el vacio experimenta una fuerza de: $5.766*{10}^{16}[N]$

¿es correcto? Saludos y gracias.

Ah y dices que era incómodo la operatoria en el magnetismo cuando se definió la permitividad eléctrica como 1 ¿por que ${\mu}_{0}=1.11 *{10}^{-17}$?, siendo este un número de más pequeño.

[arivasm]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

No he revisado los números, pero creo que has pillado la idea.

Con respecto a tu pregunta final, en esencia el uso de un 1 (bien sea en la constante de Coulomb o en cualquier otra) propicia que, obviamente, sea una cantidad sin unidades, de manera que la unidad de carga no es entonces una propia, como sucede con el Coulombio. Así, por ejemplo, con un 1 en la ley de Coulomb la unidad de carga sería la raíz cuadrada de la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de distancia, es decir, las cargas se expresarían por ejemplo en $\rm \sqrt{g\, cm^3/s^2}$. Eso lleva aparejada a la necesidad de modificar la forma de las leyes del electromagnetismo, usualmente introduciendo factores en los que aparece la velocidad de la luz (debido a la relación que ya señalamos $c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$).

Además de ser una tortura para los estudiantes de Física (aún quedan profesores que le tienen querencia a tal o cual sistema diferente del SI...) es una verdadera pesadilla el que las expresiones del electromagnetismo puedan depender del sistema de unidades. Evidentemente es preferible que sean independientes, como sucede con el resto de la Física (¿te imaginas que la 2ª ley de Newton fuese $\vec F=m\vec a$ o $\vec F=\frac{1}{c}m\vec a$ dependiendo de si se usa un sistema de unidades u otro?).

Que conste que tampoco es tan extraño eso de que las leyes de la Física puedan depender del sistema de unidades. De hecho encontrarás cosas parecidas en otros campos de la Física. Por ejemplo, en Relatividad no es infrecuente manejar el sistema de unidades en el que c=1, de manera que los tiempos se expresan en unidades de longitud o viceversa, y entonces, por ejemplo, el famoso $E=mc^2$ es simplemente $E=m$, el módulo del cuadrimomento en vez de expresarse como $E^2/c^2=m^2c^2+p^2$ pasa a ser $E^2=m^2+p^2$, etc. Aunque tiene sus ventajas, al menos para los estudiantes también tiene su punto de pesadilla.

Si quieres, puedes leer al respecto de las unidades electromagnéticas alternativas en esta entrada de la Wikipedia inglesa: http://en.wikipedia.org/wiki/Centime...ectromagnetism

[leo_ro]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

Excelente respuesta y artículo. Y lo último. Por lo que he leído del artículo la constante de permeabilidad es necesaria para relacionar las unidades electromagnéticas con las mecánicas. ¿No?

[arivasm]

Re: Fuerza magnética entre dos conductores rectos

Imagino que admitirá diversas interpretaciones. Yo lo entiendo de esta manera: la fuerza entre dos electrones en reposo separados cierta distancia, digamos 1 m, es la que es ($\notcien{2,3}{-28}\,\rm N$). Ahora bien, el número que corresponde a la carga del electrón depende de las unidades elegidas. Consecuencia: la constante de Coulomb debe tomar el valor correcto para que, en las unidades que se use, el resultado sea el adecuado.

Algo semejante nos sucede con la fuerza magnética, bien sea con nuestros electrones en movimiento o bien dos corrientes. En este segundo caso nos entra en juego la permeabilidad, del mismo modo que antes nos aparecía la permitividad.

Por supuesto, ambas cantidades están relacionadas, como ya comentamos antes, de manera que en realidad sólo podemos jugar a elegir caprichosamente una sola cosa.

Soy consciente de que al decir todo esto en realidad me estoy repitiendo, pero creo que puede responder tu pregunta.

Optar por las unidades mecánicas no deja de ser una elección acerca de la unidad de carga y que deja fuera, desde el punto de vista dimensional, a la permitividad (pues se convierte en un simple número, sin unidades). Como dije, la permeabilidad entonces queda prefijada en esa elección (algo que, repito, también sucede en los demás casos, SI, incluído).

¿Significa eso que la permeabilidad es necesaria para relacionar unidades de un sistema con las de otro? Como dije al principio, es una posible interpretación. Yo prefiero verlo con el enfoque que acabo de exponer. Quizá, lo reconozco, porque al hacerlo así lo entiendo con más claridad.

Confieso que los sistemas diferentes del SI que requieren de expresiones "propias" siempre me han irritado bastante...