pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

[carroza]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Pues vaya fiasco, eso no es responde a mi pregunta. Vamos por partes, en este foro se ha dicho, y no he sido yo, que todas las propiedades de las partículas quedan perfectamente definidas si se conoce la función de onda. Bien ¿es que acaso la masa y la carga eléctrica no son propiedades de las partículas? Yo diría que son dos propiedades de lo más elementales, y que determinan todas las demás, pero ahora resulta que no pueden calcularse aunque se conozca con todo detalle la función de onda. Y si esas dos no pueden calcularse, entonces ... ¿que otras propiedades podrían calcularse conociendo solo la función de onda? Porque si no es posible conocer ninguna de esas dos mucho menos su energía, su momento, ni ninguna que tenga alguna relación con ellas, salvo que yo ande muy equivocado.

A ver ... ¿qué propiedades de una partícula son las que podemos calcular si conocemos solo su función de onda, únicamente la función de onda? Que alguien me lo aclare, por favor.

Salu2, Jabato.

Vamos a ver: En mecánica cuántica se utiliza una cosa que es el estado cuántico. Este estado caracteriza totalmente a la partícula, o al sistema, que estemos describiendo. El estado cuántico describe el tipo de partícula que tengamos, su estado de espín, y finalmente su estado de movimiento. Este estado de movimiento puede describrirse de muchas maneras, y una de ellas es la función de onda.

Por ejemplo, si quieres describir el estado de un electrón, con proyección del espín m_s, y estado de movimiento $\Psi$, usarías el estado cuántico

$|e, \Psi, m_s>$.

Dentro de las muchas formas en las que puedes describir el estado de movimiento $\Psi$ (dando números cuámticos n, l, m_l, o dando la función en el espacio de momentos, ..), la más popular es la función de onda en el espacio de configuración $\Psi(\vec r)$, ya que tiene la propiedad de que $|\Psi(\vec r)|^2$ es la distribución de probabilidad de encontrar el electrón en un punto del espacio.

Así que en mecánica cuántica, para describir totalmente un sistema, necesitas dar el estado cuántico, que contiene la información de la función de onda, y más cosas.

Si quieres describir el operador densidad de corriente de cualquier partícula, en cualquier estado, debes usar el operador

$\vec j = {Q \over M} i \hbar \vec \nabla + {\mu_s} \vec \nabla \times \vec S$

Que es básicamente, la carga por la velocidad, más un término asociado a la corriente de magnetización debida al espín. Cuando evalúas el elemento de matriz para un estado dado del electrón, obtienes la densidad de corriente de la que te habla arivasm.

saludos

[arivasm]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

En mecánica cuántica la densidad de corriente se obtiene multiplicando la carga de la partícula por su densidad de corriente de probabilidad.

De todos modos, en lo que se refiere al origen de las propiedades magnéticas de los materiales el punto de vista cuántico está relacionado con los momentos magnéticos de sus átomos y también algo importantísimo, y que complicará aún más este hilo si seguimos tirando de ello, que es la interacción mutua entre los momentos magnéticos de los diferentes átomos que componen el material.

En un caso ideal, un imán permanente absolutamente perfecto y completamente magnetizado tendría todos sus momentos magnéticos atómicos alineados. Si, por el contrario, esos momentos magnéticos están ordenados totalmente al azar no tendremos un campo magnético macroscópico.

Digamos, en esa misma línea, que la diferencia entre un fragmento de hierro convencional y un imán permanente está en la ausencia o existencia de dichos alineamientos (aunque el juego no es todo o nada, ni tampoco exclusivamente átomo a átomo, pues existen zonas en las que sí hay alineamiento entre vecinos, o dominios magnéticos).

El origen de los momentos magnéticos atómicos está en las espiras de corriente orbitales y en la rotación de las cargas alrededor de sí mismas. Bueno, en realidad esto que acabo de decir no es correcto, pues sería un punto de vista clásico. En el cuántico hay que reemplazar lo primero por los momentos angulares orbitales y lo segundo por los espines. Por supuesto, la clave del resultado está en la composición de ambas cosas (algo de lo que tengo el recuerdo de ser un tanto rollo, con lo que la verdad ya lo tengo un tanto oxidado).

Terminaré comentando que el operador energía (hamiltoniano) que pones sí es correcto, y es el adecuado para la forma dependiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger, de la que se deriva la forma independiente del tiempo de dicha ecuación en la que, en el enfoque no relativista, el hamiltoniano toma la forma que puse anteriormente.

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Y una distribución espacial de corrientes entendida en términos cuánticos, ... ¿como sería? Ya sabes cual es mi objetivo, tratar de encontrar alguna pista de la fuente que generaría el campo magnético de los imanes.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

La verdad es que no tengo unos conocimientos demasiado avanzados de cuantica, pero lo que yo tenía entendido es que los operadores de dicha mecánica eran solo dos:

$W \quad\to\quad -\displaystyle\frac{h}{2\pi i}\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}\qquad\qquad \vec p \quad\to\quad \displaystyle\frac{h}{2\pi i}\vec\nabla$

aunque imagino que siempre podrán obtenerse otros mediante la combinación de ellos.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Energía (mecánica, cinética, potencial), cantidad de movimiento (módulo y componentes), momento angular (módulo y componentes), posición, etc. Eso sí, conviene tener claro que siempre obtendremos la distribución de probabilidades del espectro de valores de la magnitud, y entonces su valor medio, etc.

El operador correspondiente a la energía es el hamiltoniano, que para una sola partícula es de la forma (en MC no relativista) $\dst \hat H =-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U$, donde $U$ es el operador correspondiente a la energía potencial (el primer sumando es el de la energía cinética). Por ejemplo, para un átomo monoelectrónico con carga nuclear Z (*), como el H (entonces Z=1), $\dst U=k \frac{Ze^2}{r}=k \frac{Ze^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$.

*En realidad éste no sería un sistema de una sola partícula, sino de dos, pero siempre es posible reducirlo a uno equivalente de una sola partícula, sin más que reemplazar la masa por la masa reducida.

El operador momento lineal (o cantidad de movimento) es $\hat p=-i\hbar \vec\nabla$.

Observa que del mismo modo que en mecánica clásica (no relativista) la energía cinética es $\dst K=\frac{p^2}{2m}$ en mecánica cuántica es $\dst \hat K=\frac{\hat p^2}{2m}=\frac{1}{2m}\hat p\,\hat p$

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Puedes citarme un ejemplo, porque después de lo anterior estoy algo confuso. ¿Propiedades mecánicas? ¿Energía y cantidad de movimiento por ejemplo?

A ver ¿cual sería el operador que obtiene a partir de la función de onda la energía? ¿y la cantidad de movimiento?

[arivasm]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Propiedades mecánicas y las que de ellas se deriven. Por supuesto, me estoy refiriendo a cómo se entiende la mecánica cuántica "convencional" (ecuación de Schrödinger, etc), es decir, no la que fundamenta el modelo estándar u otros de ese mismo nivel.

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Pues vaya fiasco, eso no es responde a mi pregunta. Vamos por partes, en este foro se ha dicho, y no he sido yo, que todas las propiedades de las partículas quedan perfectamente definidas si se conoce la función de onda. Bien ¿es que acaso la masa y la carga eléctrica no son propiedades de las partículas? Yo diría que son dos propiedades de lo más elementales, y que determinan todas las demás, pero ahora resulta que no pueden calcularse aunque se conozca con todo detalle la función de onda. Y si esas dos no pueden calcularse, entonces ... ¿que otras propiedades podrían calcularse conociendo solo la función de onda? Porque si no es posible conocer ninguna de esas dos mucho menos su energía, su momento, ni ninguna que tenga alguna relación con ellas, salvo que yo ande muy equivocado.

A ver ... ¿qué propiedades de una partícula son las que podemos calcular si conocemos solo su función de onda, únicamente la función de onda? Que alguien me lo aclare, por favor.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Digamos que son constantes que salen fuera de las integrales, de manera que el resultado es el valor de dicha constante.

En términos más sencillos la idea es que la carga y la masa de las partículas son magnitudes que no dependen del sistema físico del que formen parte, de manera que no se pueden deducir de las funciones de onda, como pregunta Jabato. En otras palabras: es justamente al revés, las funciones de onda dependen de la masa y carga de las partículas (así como de todas las demás magnitudes que determinen la intensidad de sus interacciones).

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

No acabo de entender el formalismo que has utilizado, ¿podrías explicarlo con algo más de detalle?


$m(e, t) = <e, \Psi(t) | M | e, \Psi(t)> = \int d\vec r \Psi^*(x,y,z,t) m_e \Psi(x,y,z,t)> = m_e = 0.511 MeV/c^2$

$q(e, t) = <e, \Psi(t) | Q | e, \Psi(t)> = \int d\vec r \Psi^*(x,y,z,t) q_e \Psi(x,y,z,t)> = q_e = - 1.602 \cdot 10^{-19} C$


Gracias, Jabato.

[carroza]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Hola. Tanto la masa como la carga eléctrica de una partícula vienen dados por operadores que son independientes de la posición en el espacio tiempo. Por tanto, si tu partícula es un electrón,

$m(e, t) = <e, \Psi(t) | M | e, \Psi(t)> = \int d\vec r \Psi^*(x,y,z,t) m_e \Psi(x,y,z,t)> = m_e = 0.511 MeV/c^2$

$q(e, t) = <e, \Psi(t) | Q | e, \Psi(t)> = \int d\vec r \Psi^*(x,y,z,t) q_e \Psi(x,y,z,t)> = q_e = - 1.602 \cdot 10^{-19} C$

Saludos

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Esta bien carroza, tu lo has querido, supongamos conocida la función de onda de una partícula cualquiera, $\Psi (x,y,z,t)$, ¿cómo se calcula su masa y cómo se calcula su carga eléctrica?

- - - Actualizado - - -

¿Y bien, carroza?

[carroza]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Hola.

Creo que, a efectos de aclarar tus dudas, deberias plantear tus preguntas una a una. La mecánica cuántica tiene respuestas perfectamente definidas a cada una de tus preguntas, pero a lo mejor no son las que te gustaría escuchar.

Por responder a una de tus preguntas:

¿Si tenemos un electrón cuya función de onda cualquiera, dependiente o independiente del tiempo, \Psi, es conocida, ¿es posible calcular su momento magnético o su spin?

El momento magnético viene dado por un operador. Aunque el electron tenga un estado perfectamente definido, el valor del momento magnético, o de cualquier otro operador, no tiene que venir dado por un único valor. Lo que la mecánica cuántica permite calcular es el valor esperado (el valor promedio) del operador, o bien la probabilidad de obtener cualquiera de los valores posibles del operador.

Saludos

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Pues no me importaría centrar la cuestión en dichos aspectos ya que al fin de cuentas es la mecánica cuántica la que parece dar explicación al magnetismo de los imanes permanentes sin que otras teorías puedan hacerlo. Las fuentes del magnetismo según Maxwell son dos, y no hay más, pero eso no explica de donde sale el magnetismo de los imanes permanentes. La mecánica cuántica da como fuente de dicho magnetismo el spin de los electrones y al momento magnético orbital, pero no describe el movimiento de los electrones salvo con una función de probabilidad, y eso la verdad no me vale. ¿De cuantas formas distintas puede moverse un electrón sin que varíe su función de onda?, pues por lo que a mi respecta podría hacerlo hasta a saltos discontinuos. Salvo que la mecánica cuántica pudiera describir la forma en que se calcula el momento cuántico orbital y el spin del electrón partiendo tan solo de su función de onda pues no es suficiente. ¿Lo hace? ¿Si tenemos un electrón cuya función de onda cualquiera, dependiente o independiente del tiempo, $\Psi$, es conocida, ¿es posible calcular su momento magnético o su spin? Nunca he visto semejante cálculo realizado en ninguna parte. Podías poner un ejemplo. La verdad es que sería interesante analizar aquí como se calculan las propiedades de los electrones, y de cualquier partícula también, suponiendo conocida únicamente su función de onda. Por ejemplo como se calcula su masa, o su carga, o su momento cinético, su energía, etc. Es decir hacer el cálculo al revés, partir de la función de onda y obtener sus propiedades, y no en la forma en que suele verse en los libros.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Quizá deberías centrarte en cuál es el origen del momento angular del electrón desde el punto de vista cuántico, pues el momento magnético es consecuencia de éste. El hecho de que el electrón tenga carga es lo que lleva a que su momento angular se traduzca en un momento magnético, que es en última instancia el que da origen al comportamiento magnético de los materiales y, entonces, al magnetismo permanente, que creo que es la cuestión que se está convirtiendo en uno de los ejes principales de este hilo.

Insisto (y soy consciente de que puedo empezar a resultar pesado) en que la clave está en el paso de una imagen clásica, de una partícula girando en una órbita plana alrededor del núcleo, a una cuántica, en la que la descripción se hace a través de una función de onda bla, bla, bla.

Es relativamente frecuente que los estudiantes se queden con una imagen incorrecta del átomo (usualmente por culpa de las lecciones de Química, para las que dicha imagen es suficiente) como algo estático y carente de movimiento: los orbitales son nubes fijas, y entonces en nada se mueve. En realidad, el problema está en qué entendemos por "se mueve", pues nos empeñamos en asociar ese término con la partícula girando, etc, que, como bien quedó claro desde la época de Bohr, es incorrecto para describir el átomo.

El electrón se mueve en el átomo. Como dije antes, tiene energía cinética y momento angular. El problema está en que no podemos pensar en el puntito desplazándose. La función de onda nos puede describir la densidad de probabilidad de interactuar con el electrón, bla, bla, bla. Pero el que se trate de un estado estacionario, y entonces de una función de onda cuya amplitud es independiente del tiempo, no significa que el electrón no se mueva.

En otras palabras: aunque nos hayan pintado cientos de veces nubes de probabilidad, tenemos que tener bien presente que se trata de una imagen limitada, en la que está ausente el hecho de que el electrón se mueve. Eso sí, no podemos pensar en un puntito trazando una trayectoria. La mecánica cuántica nos ha enseñado que ese punto de vista, válido en la escala macroscópica, no es correcto en la microscópica.

Lo que sucede es que entonces derivaremos el hilo hacia otra cuestión bien diferente, y que trataría los aspectos centrales de la mecánica cuántica.

Re: pero bueno ... al fin y a la postre que es el campo magnético?

Pues ahora ya sí que estoy flipando ¿como es una distribución espacial de corrientes entendida en términos cuánticos? De verdad que ya ando más perdido que otra cosa.

Salu2, Jabato.