2o ciclo Excitación y respuesta circuito RC

[leo_ro]

En un libro de teoría de circuitos (el Marco puello). Se menciona que, en un circuito resistivo se considera que se excita con un generador de tensión entonces la respuesta será la corrienteque circula por el resistor. que tendrá una expresión:

$i(t)= \frac{1}{R } v(t)$

Por otra parte si consideramos como ixcitación a un generador de corriente, la respuesta será la tensión y tendrá la siguiente forma.

$v(t) = R i(t)$

Lo mismo es aplicable a un circuito capacitivo. Si a este lo excitamos con un generador de tensión la respuesta será la corriente y tendrá la siguiente expresión:

$\dst i(t) = C \frac{\mathrm{d} v(t) }{\mathrm{d} t}$

Si lo excitamos con un generador de corriente la respuesta por lo tanto será la tensión y tendrá la siguiente forma:

$\dst v(t) = \frac{1}{ C}{\int}_{-\infty}^{t} i(t)dt = \frac{1}{ C}{\int}_{0}^{t} i(t)dt + {v}_{c}({0}^{-})$

Mi duda conceptual con respecto a la relación excitación respuesta viene cuando tenemos un circuito RC con excitación de tensión y se necesita la corriente: (la tensión de excitación es constante)

$\dst i(t) = \frac{v(t)}{ R}+ C \frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}$ (1)

Al ser constante la tensión el segundo término del segundo miembro es cero, de manera que la corriente tendrá una forma lineal y sabemos que no es así sino que tendrá una forma exponencial decreciente.

Mi duda es la siguiente ¿por qué no se aplica este concepto de la relación directa entre excitación y repuesta? Ya que sé como resolverlo, aplicamos kirchoff

$\dst v(t) = i(t) R + \frac{1}{ C} {\int}_{0}^{t} i(t) dt+ {v}_{c}({0}^{-})$

Pero según el planteo primero, de esta forma estamos tomando a la corriente como excitación y a la tensión como la respuesta. Pienso que no hay ningún inconveniente en hacerlo de esta forma pero por qué no obtenemos el mismo resultado usando (1)

[Marce_]

Re: Excitación y respuesta circuito RC


Hola Leo,

El error conceptual está en tu ecuación (1). Al escribir $\dst v(t)$ en las corrientes tanto del capacitor como de la resistencia, estás insinuando (en un RC serie) que la tensión que cae en ambos elementos es la misma, y esto es incorrecto. Más aún, si ponemos los subíndices correctos:

$$i(t) = \frac{v_{R}(t)}{ R} + C \frac{\mathrm{d} v_{C}(t)}{\mathrm{d} t}$$

Estamos diciendo que la corriente total respecto al tiempo es la suma de la corriente que circula por la resistencia más la que circula por el capacitor, cuando en realidad la corriente que circula por ambos es la misma (estan en serie) y estaríamos duplicando el resultado. También es incorrecto decir que la tensión del segundo miembro es cero, ya que $\dst$$C \frac{\mathrm{d} v_{C}(t)}{\mathrm{d} t} \neq 0$ (un subíndice mal puesto cambia completamente la historia).

Para hacerlo correctamente (exitación tensión, necesito la corriente), aplico mallas:

$$i(t)R + v_{C}(t)= V$$

Si derivo (2) respecto al tiempo:

$$\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}R + \frac{i(t)}{C}= 0$$

Resolviendo la EDO, obtengo $i(t)$. Tené cuidado también cuando lees que "la forma de la exitación es igual a la de la respuesta". Esto es verdad en régimen permanente.

Espero haber entendido por donde venían tus dudas.

Un abrazo.-

[leo_ro]

Re: Excitación y respuesta circuito RC

Muchas gracias. Solo una cosa. Cuando dices aplico mallas ¿te refieres a que aplicas la segunda ley de kirchoft?

Y según lo que dices y por lo que veo. No es posible relacionar la excitación con la respuesta directamente en un circuito con más de 1 tipo de elemento pasivo. Sino que hay que aplicar una de las leyes de kirchoft según corresponda si están en serie o en paralelo los elementos. Y para un solo elemento pasivo la relación entre corriente y tensión sale directamente. ¿Es correcto?

[Marce_]

Re: Excitación y respuesta circuito RC

Muchas gracias. Solo una cosa. Cuando dices aplico mallas ¿te refieres a que aplicas la segunda ley de kirchoft?

Si señor, es la segunda ley de Kirchhoff o ley de mallas.

Y según lo que dices y por lo que veo. No es posible relacionar la excitación con la respuesta directamente en un circuito con más de 1 tipo de elemento pasivo. Sino que hay que aplicar una de las leyes de kirchoft según corresponda si están en serie o en paralelo los elementos. Y para un solo elemento pasivo la relación entre corriente y tensión sale directamente. ¿Es correcto?

Ni, o sea, depende lo que quieras analizar. Tomemos como ejemplo la ecuación del capacitor y analicémoslo como el único elemento presente en el circuito, aplicándole una tensión continua:

Si lo analizamos mediante el método de mallas (segunda ley de Kirchhoff):

$$V-v_{C}(t)=0 \quad \Rightarrow \quad v_{C}(t)=V$$

Acá no nos dice nada del transitorio, ya que (si lo consideramos ideal), no existe una constante de tiempo, es decir, la ausencia de la resistencia hace que no se reproduzca el transitorio de carga y descarga del mismo. Toda la información que obtenemos es en régimen permanente.

Si derivamos (1) respecto al tiempo:

$$\frac{i(t)}{C}=0 \quad \Rightarrow \quad i(t)=0$$

Lo cuál es cierto a régimen permanente (pero de nuevo, no tenemos información del transitorio). El tema también es que en la realidad no existen capacitores que no cuenten con una ESR (equivalent series resistance), con lo cuál el análisis de los circuitos siempre van a involucrar más de un elemento pasivo. Y ni hablar de que los modelos de los diferentes elementos pasivos se pueden complicar tanto como uno quiera, y casi siempre esa complicación es directamente proporcional a la frecuencia de trabajo (mayor frecuencia, más complicado es el modelo). No se salvan ni las resistencias.

Lo correcto es siempre apoyarse en las leyes de Kirchhoff y en las condiciones iniciales dadas para resolver los circuitos. De esta forma te liberas de cualquier configuración que te puedan presentar sin tener que recurrir a una tabla de fórmulas, solo las elementales.

Un abrazo.-

[leo_ro]

Re: Excitación y respuesta circuito RC

ah claro. Lo que yo estaba buscando es una relación directa entre la tensión, la cual considero excitación y la corriente considerada como la respuesta. Y siendo que en circuito RC es necesario por mallas expresar una ecuación diferencial. Pero al resolverla encuentro esa ecuación que estaba buscando.

$\dst i(t) = \frac{V}{R} {e}^{\frac{-t}{RC }}$

Esa sí es la ecuación que relaciona la entrada con la respuesta. No?

[Marce_]

Re: Excitación y respuesta circuito RC

Exacto. Y como alimentaste el circuito con una tensión constante, la respuesta (en régimen permanente), será también una constante (nula, en este caso en particular).

Un abrazo.-

- - - Actualizado - - -

Para ampliar un poco el concepto, mirá esta respuesta de un circuito que trajo Nitroni y que todavía no tuve tiempo de ver donde está mi error (la traza azul corresponde a la respuesta del enunciado que es correcta, y la roja a la obtenida:

Este circuito es alimentado por dos fuentes. Una fuente de tensión continua, y una fuente de tensión alterna, y pedía la tensión en el capacitor (el capacitor se encontraba cargado previamente). Se vé que luego de que transcurra el transitorio (empíricamente se suele tomar como $\dst t\approx6\tau$ siendo $\dst \tau$ la constante de tiempo, en régimen permanente la respuesta es igual a la exitación, es decir, una senoide trasladada en el eje y por la componente de tensión continua (ese desplazamiento suele llamarse offset y no siempre es deseado).