Otras carreras Transitorio en circuito RLC serie

[leo_ro]

Debo encontrar la función transistoria de tensión del capacitor para el siguiente circuito.

Planteando la ecuación diferencial, obtengo la corriente, la cual solo tiene componente libre y no forzada. Dicha corriente tiene la forma de

$\dst i(t) = \frac{2}{\sqrt{3} } {e}^{-0.5 t} sen (\frac{\sqrt{3}}{ 2} t)$

He simulado la corriente transistoria en el multisim y este dió la siguiente gráfica:

Siendo la grafica verde la corriente, la cual es igual a la expresión anterior. La gráfica roja es la tensión en el capacitor. Pero si obtengo dicha tensión matematicamente no llego a esa gráfica. Ya que:

$\dst {v}_{c}(t)= \frac{1}{C } {\int}^{t}_{0} i(t) dt$

Recordando que C=1 F

$\dst {v}_{c}(t)= \frac{2}{\sqrt{3} }{\int}^{t}_{0} {e}^{-0.5 t} sen (\frac{\sqrt{3}}{ 2} t) dt$

Usando la tabla de integración

$\dst \int {e}^{ax} sen (bx) dx = \frac{{e}^{ax} (a sen (bx)-b cos (bx))}{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

De esta manera la tensión en el capacitor es:

$\dst {v}_{c}(t) = \frac{2}{ \sqrt{3}} {e}^{-0.5 t}(-0.5 sen (\frac{\sqrt{3}}{ 2}t)- \frac{\sqrt{3}}{ 2} cos ( \frac{\sqrt{3}}{ 2} t) )$

La cual tienen la siguiente gráfica y difiere de la del simulador.

No veo donde puede estar el error. Cabe aclarar que la gráfica correcta sería la del simulador ya que converge en 1, que es la tensión del elemento activo.

[Marce_]

Re: Tensión en capacitor circuito RLC

Hola Leo,

Este es uno de esos rompederos de cabeza que cuando te das cuenta no lo podés creer. Te faltó la constante de integración al averiguar la tensión del capacitor y evaluarla en 0. La constante es igual a 1.

Un abrazo.-

PD: el gráfico salió horrible, pero creo que es porque lo reduje demasiado.

[Alriga]

Analizamos el circuito en el dominio operacional (transformadas de Laplace)

$E(s)=\dfrac 1 s$

$Z_R(s)=1$

$X_L(s)=s$

$X_c(s)=\dfrac 1 s$

$Z(s)=1+s+\dfrac 1 s$

La corriente que atraviesa el circuito:

$I=\dfrac E Z=\dfrac{\dfrac 1 s}{1+s+\dfrac 1 s}$

$I(s)=\dfrac 1{s^2+s+1}$

Miramos en la Tabla de Transformadas Inversas de Laplace:

$\mathcal L^{-1} \left [ \dfrac{\omega^2}{s^2+2\alpha \omega s+\omega^2} \right ]=\dfrac{\omega}{\sqrt{1-\alpha^2}} \ \ee^{-\alpha \omega t} \ \sin \big ( \sqrt{1-\alpha^2} \ \omega t \big )$

En nuestro caso:

$\omega=1 \qquad \alpha =\dfrac 1 2=0.5 \qquad \sqrt{1-\alpha^2}=\dfrac{\sqrt 3}2$

Por lo tanto

$i(t)=\dfrac 2{\sqrt 3} \ \ee^{-0.5 t} \sin \left (\dfrac{\sqrt 3}2 t \right )$

Para hallar la tensión $u_C(t)$ en el condensador hay 3 alternativas:

• 1. Hallar $U_C(s)=\dfrac 1 s I(s)$ y realizar la transformada inversa de Laplace*
• 2. Integrando, $\dst u_C(t)= \dfrac 1 C \int i(t) dt$
• 3. Derivar para hallar la tensión en la inductancia y usar después la 2ª ley de Kirchhoff para hallar la tensión en el condensador

Como en general derivar y después sumar es más sencillo que integrar, usaremos la vía 3. La tensión en la Resistencia:

$u_R(t)=R \cdot i(t)=\dfrac 2{\sqrt 3} \ \ee^{-0.5 t} \sin \left (\dfrac{\sqrt 3}2 t \right )$

La tensión en la bobina:

$u_L(t)=L \ \dfrac{di}{dt}= \ee^{-0.5 t} \left [ \cos \left (\dfrac{\sqrt 3}2 t \right )- \dfrac 1{\sqrt 3} \ \sin \left (\dfrac{\sqrt 3}2 t \right ) \right ]$

La segunda ley de Kirchhoff:

$E=u_R+u_L+u_C$

$u_C(t)=1-u_R(t)-u_L(t)$

$$u_C(t)=1-\ee^{-0.5 t} \left [ \dfrac 1{\sqrt 3} \sin \left (\dfrac{\sqrt 3}2 t \right )+\cos \left (\dfrac{\sqrt 3}2 t \right ) \right ]$$

* Si se hubiese optado por la vía de la transformada de Laplace:

$U_C(s)=\dfrac 1{s(s^2+s+1)}$

Miramos en la Tabla de Transformadas Inversas de Laplace:

$\mathcal L^{-1} \left [ \dfrac{\omega^2}{s(s^2+2\alpha \omega s+\omega^2)} \right ]=1-\dfrac{1}{\sqrt{1-\alpha^2}} \ \ee^{-\alpha \omega t} \ \sin \big ( \sqrt{1-\alpha^2} \ \omega t + \arccos \alpha \big )$

$$u_C(t)=1-\dfrac 2{\sqrt 3} \ \ee^{-0.5 t} \sin \left (\dfrac{\sqrt 3}2 t +\dfrac{\pi}3 \right )$$

Las expresiones (1) y (2) son equivalentes.

Saludos.