Otras carreras Ejercicio--: Teorema de Thevenin, Norton y potencia maxima transferida

[Sagara]

Como puedo encontrar el voltaje entre los terminales a y b de la resistencia RL=3 ohms usando el teorema de Thevenin. También hay que dibujar el circuito equivalente de Thevenin cuando la resistencia RL=3 ohms esta desconectada. Calcular también la potencia máxima tranferida. Por ultimo, como puedo realizar este circuito por el teorema de Norton.



Gracias,

[Marce_]

Re: Ejercicio--: Teorema de Thevenin, Norton y potencia maxima transferida

Hola Sagara, bienvenido.

Lo primero que debes hacer es entender cuál es el concepto de realizar un equivalente de Thevenin (o Norton). Lo que permiten dichos equivalentes es facilitar el estudio sobre el elemento en donde se realiza el equivalente reemplazando todo lo demás por una fuente de tensión ($\dst V_{ab}=V_{th}$) en serie con una resistencia ($\dst R_{th}$), y en una fuente de corriente en paralelo con una resistencia en el caso del equivalente de Norton.

Dicho todo esto, comencemos:

Estimo que estás familiarizado medianamente con el teorema de Thevenin. En este caso no hay fuentes dependientes, así que se puede obtener $R_{th}$ fácilmente, recordando que se deben pasivar todas las fuentes independientes. Pasivar una fuente de tensión es un cortocircuito (convertirla en un cable), mientras que pasivar una fuente de corriente es "sacarla" literalmente, dejando sus bornes abiertos. Dado que los puntos A y B se encuentran abiertos (se saca la resistencia a estudiar para averiguar el equivalente), luego de pasivar verás que para llegar de A hasta B hay un nodo, y en ese nodo convergen 3 resistencias. Por lo tanto $R_{th}$ será el paralelo entre las resistencias de $\dst 1\Omega$, $\dst 3\Omega$ y $\dst 6\Omega$.

$$R_{th}= \boxed{\frac{2}{3} \Omega}$$

(No es correcto, ver corrección de Al en el siguiente mensaje)

Para averiguar $\dst V_{ab}=V_{th}$ primero vamos a distinguir cuales son las corrientes presentes en el circuito (asignándoles un sentido arbitrario). Te muestro cuál elegí, lo que no implica que debas elegir el mismo (de hecho sería un buen ejercicio que puedas llegar al mismo resultado con una orientación diferente de corrientes). El único sentido que debería respetarse es el de $\dst I_{3}$, ya que $\dst V_{ab}$ tiene un sentido prefijado:

Como en los nodos (o nudos), no se genera corriente, la suma de las corrientes que salen es igual a las que ingresan (primera ley de Kirchhoff) podemos escribir:

$$I_{3} = I_{2} + 4$$

$$I_{1} = I_{3} + I_{4}$$

Pero falta un pequeño detalle. Como los puntos A y B se encuentran abiertos, $\dst I_{3}=0$, lo cuál impacta en (1) y (2):

$$I_{2}= -4$$

$$I_{1} = I_{4}$$

Ahora que tenemos las relaciones entre nuestras corrientes, podemos apelar a la segunda ley de Kirchhoff (ley de mallas), para averiguar finalmente $\dst V_{ab}=V_{th}$. No conocemos el valor de $\dst I_{1}$, con lo cuál podríamos recorrer la malla externa del circuito para averiguarla:

$$-3I_{1} + 40 -6I_{1} + 8= 0 \quad \Rightarrow \quad I_{1} = \boxed{\frac{16}{3} A}$$

Ahora deseamos una malla que relacione las corrientes que conocemos con $\dst V_{ab}=V_{th}$. Podemos elegir la malla izquierda o la derecha. Yo elijo la derecha (por la izquierda debe dar el mismo valor):

$$V_{ab} + 1I_{2}-6I_{1}+8=0 \quad \Rightarrow \quad V_{ab} =V_{th}= \boxed{28 V}$$

Dibujar el equivalente de Thevenin sin carga no es más que dibujar un circuito con una fuente de tensión ($\dst V_{th}$) en serie con una resistencia ($R_{th}$) dejando sus bornes abiertos. El borne negativo de la fuente corresponderá al punto B y el punto A saldrá de la resistencia. La máxima transferencia de potencia se produce cuando $R_{L}=R_{th}$ (su demostración la podes encontrar por ejemplo acá).Si te piden la máxima transferencia de potencia manteniendo $R_{L}=3 \Omega$ será la potencia consumida por ésta. Y por último La relación entre el equivalente de Thevenin y el de Norton es:

$$I_{n}= \frac{V_{th}}{R_{th}}$$

Es decir, el equivalente de Norton no es más que una transformación de fuentes realizada al de Thevenin.

Espero que te sea útil y cualquier duda que tengas, aquí estaremos.

Un abrazo.-

[Al2000]

Re: Ejercicio--: Teorema de Thevenin, Norton y potencia maxima transferida

...
Por lo tanto $R_{th}$ será el paralelo entre las resistencias de $\dst 1\Omega$, $\dst 3\Omega$ y $\dst 6\Omega$.
...

¿No será mas bien la resistencia de 1 ohmio en serie con el paralelo de las resistencias de 3 y 6 ohmios?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Sagara]

Re: Ejercicio--: Teorema de Thevenin, Norton y potencia maxima transferida

Chicos, el docente que me asigno este ejercicio tambien nos suministro las respuestas a continuacion:
Vab= 18 volts.
Pmax= 108 Watts.

Por favor chicos aclarenme esto un poco ya que no soy muy diestro con los circuitos.

[Marce_]

Re: Ejercicio--: Teorema de Thevenin, Norton y potencia maxima transferida

¿No será mas bien la resistencia de 1 ohmio en serie con el paralelo de las resistencias de 3 y 6 ohmios?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Si señor!, mi error. Lo que termina dando una $\dst R_{th}=3 \Omega$. Y queda justito para la máxima transferencia de potencia.

Gracias Al.

- - - Actualizado - - -

Chicos, el docente que me asigno este ejercicio tambien nos suministro las respuestas a continuacion:
Vab= 18 volts.
Pmax= 108 Watts.

Por favor chicos aclarenme esto un poco ya que no soy muy diestro con los circuitos.

En este caso $\dst V_{ab}$ se refiere a la tensión que cae en $\dst R_{L}$, no a la tensión de Thevenin. Igual con $\dst V_{th}=28$ , $\dst R_{th}=3 \Omega$ y $\dst R_{L}=3 \Omega$ quedaría $\dst V_{ab}=14 V$. Voy a revisar cuentas e intentar simularlo así nos sacamos las dudas.

- - - Actualizado - - -

Simulado y revisado. Las respuestas no son correctas (pasa en las mejores familias). Las respuestas correctas son:

$$V_{ab}=14V \quad , \quad P_{max}= \frac{196}{3} W \approx 65.3 W.$$

Un abrazo.-

[Sagara]

Re: Ejercicio--: Teorema de Thevenin, Norton y potencia maxima transferida

AL y Marce, pueden ambos explicarme este ejercicio por el teorema de Norton, excusenme las molestias, estudio Ingeniería Industrial y soy muy lento para esto de los circuitos.

[Marce_]

Re: Ejercicio--: Teorema de Thevenin, Norton y potencia maxima transferida

Antes que nada, y para pasar las cosas en limpio, usamos demasiadas veces $\dst V_{ab}$. Cuando se está calculando el equivalente de Thevenin, podemos decir que $\dst V_{ab}=V_{th}$ porque hablamos de un equivalente a circuito abierto. Una vez que ya tenemos el equivalente y queremos saber justamente cuál es $\dst V_{ab}$, conectamos $\dst R_{L}$ y ahí si, $\dst V_{ab}=V_{RL}$ que es la respuesta (errónea pero respuesta al fin) que brindó tu profesor.

Para hacerlo por el Teorema de Norton desde el comienzo, la parte de $\dst R_{th}$ es la misma que en Thevenin (acordate la corrección que realizó Al ($\dst R_{th}=3 \Omega$). Pero ahora en vez de abrir el circuito, sacar $\dst R_{L}$, dejar abierto el circuito y calcular $\dst V_{ab}=V_{th}$, abro el circuito, saco $\dst R_{L}$, y vuelvo a cerrarlo , calculando la corriente ($\dst I_{n}$) que circula por AB. Intentalo y avisanos, la respuesta ya la tenés:

$$I_{n}= \frac{V_{th}}{R_{th}} = \boxed{\frac{28}{3} \approx 9.3 A}$$

Un abrazo.-