1r ciclo ecuación Laplace

[alejandrito29]

Considerar un cilindro tierra conductor infinitamente largo, el cual es introducido en un campo eléctrico uniforme como en la figura. Piden calcular el potencial después de la inserción. Estoy leyendo la resolución del problema y tengo las siguientes dudas:

¿porque no consideran la componente z de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas?

¿como se yo que la densidad de carga es cero, y no debo usar la ecuación de Poisson?

gracias

[PedroAAI]

Re: ecuación Laplace

¿porque no consideran la componente z de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas?

Porque da igual la altura, tu campo eléctrico se va a distribuir de la misma forma en todo el cilindro para cualquier altura que cojas.

¿como se yo que la densidad de carga es cero, y no debo usar la ecuación de Poisson?

Porque fuera del cilindro hay vacío, entonces su densidad de carga es nula y como el cilindro es un conductor dentro del mismo tampoco habrá una densidad de carga.

Hace mucho que leí sobre esto, así que si estoy equivocado corregidme.

Un saludo.

[alejandrito29]

Re: ecuación Laplace

Porque da igual la altura, tu campo eléctrico se va a distribuir de la misma forma en todo el cilindro para cualquier altura que cojas.

gracias por tu ayuda, ¿pero por que el campo eléctrico influye en la ecuación de Laplace?, si es el potencial el que voy a calcular, el campo eléctrico hace un potencial de la forma $E_0 r cos \theta$

[PedroAAI]

Re: ecuación Laplace

Sí claro, estás en lo cierto, como dije antes hace tiempo que vi eso y no me acordaba muy bien de la ecuación de Laplace para este caso.

Sin embargo, mi contestación sigue siendo la misma, de hecho tú mismo lo has dicho, tu potencial depende de la distancia al centro del cilindro (r) y del ángulo que forma con un eje que pase por el centro ($\theta$), pero no de la altura (z).

P.S.: El campo eléctrico si influye en la ecuación de Laplace, pero no directamente, influye en el potencial, de hecho la ecuación de Laplace sale de una de las ecuaciones de Maxwell $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$. Lo normal al utilizar la ecuación de la Laplace es primero hallar el potencial resolviendo la ecuación diferencial, aplicar las condiciones de frontera para librarte de las constantes de integración y finalmente hallar el campo eléctrico utilizando $\vec{E} = - \nabla V$

Un saludo.

[alejandrito29]

Re: ecuación Laplace

Sí claro, estás en lo cierto, como dije antes hace tiempo que vi eso y no me acordaba muy bien de la ecuación de Laplace para este caso.

Sin embargo, mi contestación sigue siendo la misma, de hecho tú mismo lo has dicho, tu potencial depende de la distancia al centro del cilindro (r) y del ángulo que forma con un eje que pase por el centro ($\theta$), pero no de la altura (z).

P.S.: El campo eléctrico si influye en la ecuación de Laplace, pero no directamente, influye en el potencial, de hecho la ecuación de Laplace sale de una de las ecuaciones de Maxwell $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$. Lo normal al utilizar la ecuación de la Laplace es primero hallar el potencial resolviendo la ecuación diferencial, aplicar las condiciones de frontera para librarte de las constantes de integración y finalmente hallar el campo eléctrico utilizando $\vec{E} = - \nabla V$

Un saludo.

muchísimas gracias por tu ayuda Pedro.

Lamentablemente aún no me convenzo ya que la ecuación de Laplace es $\nabla^2 V =0[$, mi duda es por que no se considera la componente z de $\nabla^2 V =0[$. A lo mejor si otra persona me pudiera ayudar.

[PedroAAI]

Re: ecuación Laplace

A ver, la ecuación de Laplace es

$$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial V^2}{\partial z^2}=0$$

o bien en coordenadas cilíndricas

$$\nabla^2 V = \frac{1}{ r}\frac{\partial }{\partial r}(r \frac{\partial V }{\partial r})+\frac{1}{r^2 }\frac{\partial^2 V}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0$$

Pues bien, si V solo depende de r y de $\theta$, es decir, $V=V(r,\theta)$ entonces

$$\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0$$

y la ecuación de Laplace se reduce a

$$\nabla^2 V = \frac{1}{ r}\frac{\partial }{\partial r}(r \frac{\partial V }{\partial r})+\frac{1}{r^2 }\frac{\partial^2 V}{\partial \theta^2}=0$$

No sé si esta era tu duda, si no es así vuelve a preguntar

Un saludo.

[Breogan]

Re: ecuación Laplace

Hola:

Aunque Pedro ya te contesto tus preguntas, agrego otra explicación basada en lo poco que me acuerdo del tema:

¿porque no consideran la componente z de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas?

No se considera la coordenada z en este problema por una cuestión de simetría en su sentido mas amplio.
Considera que tenes un punto con coordenadas cilíndricas $(\rho_0 , \theta_0 , z_0)$, alrededor de este punto (arriba, abajo, a los lados, etc.) hay una distribución de campos, cargas, y material conductor, que determinan univocamente su potencial (respecto del punto de referencia elegido, normalmente el infinito).

Ahora supone otro punto que este un poco mas arriba con coordenadas $(\rho_0 , \theta_0 , z_0+h)$, este punto (dado que el cilindro y la distribución de campo son infinitos) esta rodeado por la misma distribución de campos, carga, y material que el anterior, por lo cual ambos puntos, y su estado, resultan indistinguibles entre si y su potencial no dependera de la coordenada z.

Las simetrías son muy usadas en la solución de problemas de todo tipo, y son herramientas muy utiles y poderosas, por lo cual es deseable invertir todo el esfuerzo posible en entenderla.

s.e.u.o.

Suerte

PD: imagina otra problema posible, que el cilindro es de largo finito, en este caso se rompe la simetría y el estado de excitación de cada punto del espacio si va a depender de la coordenada z.

Suerte