1r ciclo Flujo de campo de un cubo cargado

[Sofia Velasquez]

Hola, tengo este problema

Considere un cubo de arista L y area superficial total S con una carga electrica q en su interior. Demuestre que se cumple la ley de gauss y despues calcule el flujo sobre una cara del cubo

La verdad no se como empezar el planteamiento para iniciar. Resulta que nuestro profesor es bastante superficial es sus explicaciones y no he logrado encontrar algo util en libros. Muchas gracias a quien me pueda ayudar

[Al2000]

Re: Flujo de campo de un cubo cargado

Sofía, ¿la carga está en una posición arbitraria dentro del cubo o está en el centro del cubo? Porque si está en una posición arbitraria las integrales no son nada amigables. Por ejemplo, si consideramos que la carga está en el origen de coordenadas y la esquina del cubo (de aristas paralelas a los ejes) que se encuentra en el VII octante tiene coordenadas (-a,-b,-c), entonces el flujo en la cara perpendicular al semieje +X viene dado por la integral

$$\Phi_{E,+X} = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \int_{-c}^{L-c}\!\! \int_{-b}^{L-b}\!\! \frac {L-a}{[(L-a)^2 + y^2 + z^2]^{3/2}}\, dy\,dz$$

y hay que resolver otras cinco integrales del mismo tenor para hallar el flujo total.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[gdonoso94]

Re: Flujo de campo de un cubo cargado

Creo que es más sencillo que eso Al, no creo ni que tenga que resolver la integral. Según la ley de Gauss:

$\dst \phi =\int_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$

Si la superficie que elegimos es el cubo en cuestión tendremos el flujo por todas las caras del cubo. Es decir, el flujo que atraviesa el cubo es $q/\varepsilon_0$. Dividiendo este resultado entre 6 caras que tiene el cubo, obtenemos el flujo que atraviesa una.

$\dst \phi_{unacara}=\frac{q}{6\varepsilon_0}$

¿No crees?

Saludos.

[Bustikiller]

Re: Flujo de campo de un cubo cargado

Estoy de acuerdo con gdonoso94, siempre y cuando la distribución de carga en el cubo tenga simetría central

[Breogan]

Re: Flujo de campo de un cubo cargado

Hola:

Sin embargo a mi me parece que la respuesta de Al es la correcta.

Creo que es más sencillo que eso Al, no creo ni que tenga que resolver la integral. Según la ley de Gauss:

$\dst \phi =\int_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$[/TEX]

Justamente esta formula es la que tiene que demostrar que se cumple, así que no es valido aceptarla como valida para demostrar su validez (flor de redundancia las mía, no?).
Si le ponemos números del 1 al 6 a las caras del cubo, lo que se tiene que averiguar es la siguiente suma:

$\dst \sum_{i = 1}^6 \int_{S_i} \vec E \ . \ d \vec S$

comprobar que es igual a $q/\varepsilon_0$, y demostrar de esa forma que la ley de Gauss es correcta.

Si la superficie que elegimos es el cubo en cuestión tendremos el flujo por todas las caras del cubo. Es decir, el flujo que atraviesa el cubo es $q/\varepsilon_0$. Dividiendo este resultado entre 6 caras que tiene el cubo, obtenemos el flujo que atraviesa una.

$\dst \phi_{unacara}=\frac{q}{6\varepsilon_0}$

¿No crees?

Saludos.

Esto sería solo cierto (por simetría) cuando la carga se encuentra justo en el centro del cubo, para otras posiciones no es así.

s.e.u.o.

Suerte

[gdonoso94]

Re: Flujo de campo de un cubo cargado

Hola:

Sin embargo a mi me parece que la respuesta de Al es la correcta.



Justamente esta formula es la que tiene que demostrar que se cumple, así que no es valido aceptarla como valida para demostrar su validez (flor de redundancia las mía, no?).
Si le ponemos números del 1 al 6 a las caras del cubo, lo que se tiene que averiguar es la siguiente suma:

$\dst \sum_{i = 1}^6 \int_{S_i} \vec E \ . \ d \vec S$

comprobar que es igual a $q/\varepsilon_0$, y demostrar de esa forma que la ley de Gauss es correcta.




Esto sería solo cierto (por simetría) cuando la carga se encuentra justo en el centro del cubo, para otras posiciones no es así.

s.e.u.o.

Suerte

Gracias por las aclaraciones. He dado esa respuesta debido a que corresponde al primer ciclo y no da más datos. Este ejercicio es una clásica aplicación de la ley de Gauss y, si no recuerdo mal, siempre los he resuelto así y estaban bien :P.

Obviamente la respuesta de Al es la más correcta y general, pero no creo que el objetivo de este ejercicio de electromagnetismo (este en concreto) sea demostrar nuestras dotes de cálculo multivariable.

Saludos.

[Sofia Velasquez]

Re: Flujo de campo de un cubo cargado

Hola! Muchas gracias a todos, a mi tampoco me especifican si la carga se encuentra o no en el centro del cubo, pero creo que para el nivel de profundiad que tenemos seguramente la carga Si estan en el centro.

[Al2000]

Re: Flujo de campo de un cubo cargado

Bueno, eso simplifica un poco las cosas en el modo en que la simetría permite ahorrar algunos cálculos. Se puede integrar la cuarta parte de la cara del cubo y multiplicar por 4 para obtener el flujo en esa cara y luego multiplicar por 6 para obtener el flujo total. Sin embargo eso no te salva de integrar la bichita esa que te puse arriba. Quedaría, para el flujo en una cara

$$\Phi_{E,\text {cara}} = 4 \times \frac q {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{L/2}\!\! \int_{0}^{L/2}\!\! \frac {L/2}{[(L/2)^2 + y^2 + z^2]^{3/2}}\, dy\,dz$$

$$\Phi_{E,\text {cara}} = \frac q {\pi \epsilon_0} \underbrace { \int_{0}^{1}\!\! \int_{0}^{1}\!\! \frac {1}{(1 + u^2 + v^2)^{3/2}}\, du\,dv}_{\pi /6} = \frac q {6 \epsilon_0}$$

donde hice el cambio $y = (L/2) u,\,\, z = (L/2) v$ para escribir la última integral.

Saludos,

$\mathcal A \ell$