1r ciclo Ecuación de onda electromagnética

[Bustikiller]

!Buenas tardes!

Me encuentro haciendo un ejercicio de ondas y me he quedado atascado casi al final. El enunciado dice:

"Escriba expresiones generales para los campos eléctrico y magnético de una onda plana sinusoidal de 1 GHz que viaja en la dirección +y en un medio no magnético sin pérdidas con permitividad relativa $\varepsilon_r = 9$. El campo eléctrico está polarizado a lo largo de la dirección x, su valor pico es de 6 V/m y su intensidad de 4 V/m en t=0 y y=2cm"

De momento he supuesto que la componente magnética de la onda se mueve en el eje Z para que E y H sean perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Como es un medio sin pérdidas, la conductividad es nula y como es un medio no magnético, $\mu = \mu_0$

Las expresiones generales de las dos componentes de la onda son:

$\vec{E} = E_0 cos (\omega t - ky)$
$\vec{H} = H_0 cos (\omega t - ky + \varphi)$

He obtenido la velocidad de propagación:

$u_p = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{c}{3} = 10^8 m/s$

He calculado la velocidad angular como:

$\omega = 2 \pi f = 2 \pi 10^9 rad/s$

Y el número de onda como:

$k = \frac {\omega}{u_p} = 20\pi m^{-1}$

Los valores máximos de $\vec{E}$ y $\vec{H}$ se relacionan mediante la impedancia intrínseca del medio:

$H_0 = \frac{E_0}{\eta}$

En un medio sin pérdidas, $\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon }} = \frac{\eta_0}{3}$. Por ello, $H_0 = 3E_0$

Me falta por determinar la diferencia de fase pero no sé cómo hacerlo. Creo que$E_0$ es 6 V/m pero no sé qué hacer con los 4 V/m del enunciado ni con "su intensidad de 4 V/m en t=0 y y=2cm" ¿A qué se refiere?

Muchas gracias y un saludo

[Breogan]

Re: Ecuación de onda electromagnética

Hola:

"Escriba expresiones generales para los campos eléctrico y magnético de una onda plana sinusoidal de 1 GHz que viaja en la dirección +y en un medio no magnético sin pérdidas con permitividad relativa $\varepsilon_r = 9$. El campo eléctrico está polarizado a lo largo de la dirección x, su valor pico es de 6 V/m y su intensidad de 4 V/m en t=0 y y=2cm"

La ecuación del campo electrico es:

$\dst \vec E(y,t) = E_x \ \hat i = E_0 \ cos (\omega t - k y + \phi_E) \ \hat i$

de ahi que para E0=6 V/m, t=0 e y=0.02 m resulta:

$\dst E(0,02 m\ , \ 0) = 4 \frac V m = 6 \frac V m \ cos ( - k \ 0,02 m + \phi_E) \quad \Rightarrow \quad \phi_E = ?$

frecuencia angular:

$\dst \omega = 2 \pi f$

velocidad de propagacion:

$\dst v = \frac 1 {\sqrt{\mu \ \varepsilon}} = \frac 1 {\sqrt{\mu_0 \ \varepsilon_r \ \varepsilon_0}} = \frac c {\sqrt{\varepsilon_r}}$

vector de onda:

$\dst \omega = v \ k$

y por ultimo el campo magnético:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst \vec H = H_{e_H} \ \hat e_H$

y

$\dst \vec {\nabla} \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$

$\dst \vec {\nabla} \times \vec E = - \mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}$

$\dst - \frac{\partial E_x}{\partial y} \hat k = - \mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \mu_0 \frac{\partial H_{e_H}}{\partial t}\ \hat e_H$

Resultando:

$\dst \hat e_H = \hat k \quad y \quad H_{e_H} = H_z \quad \Rightarrow \quad \vec H = H_z \hat k$

y

$\dst \frac{\partial E_x}{\partial y} = \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t}$


s.e.u.o.

Suerte

[Julián]

Re: Ecuación de onda electromagnética

También lo puedes encarar de manera teórica. A lo que me refiero es que el enunciado menciona que el medio es sin pérdidas, eso implica que no tiene conductividad $\sigma =0$. Eso nos dice 2 cosas que la onda no disminuye su amplitud a medida que avanza y que que los campos están en fase.

Recordando las ecuaciones de maxwell en notación fasorial para un medio con conductividad (para que veas que están en fase luego al hacer $\sigma =0$)son:

$\dst \nabla \times E =- j \omega \mu H$

$\dst \nabla \times H = \sigma E + j \omega \varepsilon E = j \omega (\frac{\sigma }{j \omega } + \epsilon) E = j \omega {\varepsilon}_{c} E$

${\varepsilon}_{c}$ es la permitividad compleja la cual depende de la frecuencia, de la conductividad y de la permitividad eléctrica común. Ya de por sí ambos campos en los rotacionales están desfasados 90º, como se puede observar por el término j. Pero como en el primerto tenemos -j y en el segundo j, al aplicar los operadores diferenciales y sustituir para llegar a las ecuaciones de onda y que luego al relacionar las soluciones de estas se llega a la relación:

$\dst \frac{E}{H } = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon }}$

Por lo tanto $\dst \frac{E}{H } = \sqrt{\frac{\mu}{{\varepsilon}_{c} }} = \sqrt{\frac{\mu}{\frac{\sigma }{j \omega } + \epsilon }}$ si $\sigma =0$ entonces $\dst \frac{E}{H } = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon }}$

$\dst E(z, t) = {E}_{0} cos (\omega t - kz) \hat{\imath}$

$\dst H(z, t ) = \frac{{E}_{0}}{\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon }} } cos (\omega t - kz ) \hat{\jmath}$