Otras carreras corteza esférica conductora y aislada

[cucuru]

hola

tengo un problema de aplicación directa del teorema de Gauss.


la última capa que tengo es una corteza esférica conductora y aislada.


Vale, la carga total de la corteza está distribuida en el radio interior c y el eterior d, el potencial en la superficie de fuera es 0V por estar aislado.

respecto a la carga total de la corteza

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿es correcto este cálculo?

El problema me pide la carga total de la distribución, todas las demás cortezas y esfera están claras, pero de esta corteza no me habla de sigma ni Q, sólo el dato que es conductora, está aislada y los radios

gracias

[Al2000]

Re: corteza esférica conductora y aislada

Sería mejor si escribes el enunciado completo, pues parece que estás interpretando mal alguna parte. En particular, si la corteza esférica conductora esta aislada, su potencial probablemente no será cero, a diferencia de si dijeras que está conectada a tierra.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[cucuru]

Re: corteza esférica conductora y aislada

Sí, yo misma me he dado cuenta ya de algún error en lo que escribí.

Una corteza esférica no conductora de radio interior a y de radio eterior b posee una densidad de carga $\rho$ uniforme. Está rodeada por otra corteza esférica conductora y aislada de radio interior c y eterior d. Calcular:
a)Q total
b) E en todos los puntos del espacio
c) el potencial entre las dos cortezas
d) las densidades de carga de las superficies de radio c y d.

Mi única duda es la carga de la corteza conductora y aislada, sé que el dato aislada es la clave, pero no se que quiere decirme.

r < a

E= 0
porque q= 0

a < r < b

$<br /> E4\pi{r}^{2 }=\frac{\frac{4}{3 }\pi{r}^{ 3}-\frac{4}{3 }\pi{a}^{ 3}}{\varepsilon }<br />$



b < r < c

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


c < r < d

q=0 porque la carga se distribuye de manera que compensa cla positiva que hay dentro es decir, en r = c
$<br /> q = -(\frac{4}{3 }\pi{b}^{ 3}-\frac{4}{3 }\pi{a}^{ 3})$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

d > r

ni idea!!



el apartado a) sería $qt = \frac{4}{3 }\pi{b}^{ 3}-\frac{4}{3 }\pi{a}^{ 3} + {q}_{ cd}$

pero ni idea de ${q}_{ cd}$


Alguna pista??

Gracias

[Al2000]

Re: corteza esférica conductora y aislada

En el enunciado no pone cuánta carga hay en la corteza conductora, de modo que voy a asumir que se encuentra descargada. De todas maneras, si tuviese alguna carga sólo sería afectada la carga en la superficie de radio $d$ y el campo en $r>d$.

El campo eléctrico que produce la carga de la corteza no conductora polariza la corteza conductora. En una situación de equilibrio electrostático, el campo en el interior de la corteza conductora ($c < r < d$) es nulo. La aplicación del teorema de Gauss a una superficie completamente contenida dentro de la corteza conductora nos lleva a concluir que, por ser nulo el campo, la carga neta encerrada por la superficie es cero y por lo tanto la carga en la superficie interna de la cáscara conductora debe ser igual a la carga de la corteza no conductora pero de signo opuesto. Entonces $\dst q_c = - \frac 4 3 \pi \rho \left(b^3 - a^3\right)$ y si la corteza conductora está descargada, entonces la carga en su superficie externa será $q_d = - q_c$, es decir, igual a la carga total de la corteza no conductora.

Conocidas las cargas en cada superficie resulta simple calcular el campo y el potencial en cada punto del espacio.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Bustikiller]

Re: corteza esférica conductora y aislada

Buenas!

a) La carga total es la correspondiente a la corteza dieléctrica con densidad de carga uniforme $\rho$. Como $\rho$ es uniforme, la integral de volumen de $\rho$ por el diferencial de volumen es directamente $\rho V$:

$$Q = \rho V = \rho \frac{4 \pi}{3} (b^3-a^3)$$

b) Puedes calcular el campo utilizando el Teorema de Gauss.

En 0 < r < a, el campo es nulo ya que una esfera de radio r no encierra ninguna carga.
En a < r < b, considerando que $\vec{E}$ es perpendicular a $\vec{S}$, puedes calcular el campo como:

$$\varepsilon E 4\pi r^2 = Q$$

donde Q es la carga encerrada en el volumen definido por una esfera de radio r, con a < r < b, es decir,

$$Q = \rho \frac{4 \pi}{3} (r^3-a^3)$$

En b < r < c, la carga encerrada es la carga total del sistema, obtenida en el apartado a)

En c < r < d, al tratarse de un volumen conductor, el campo es nulo: $\vec{E} = 0$

En r > d, puedes utilizar la misma expresión que en b < r < c, aunque el rango de valores de r cambia [EDITO: El mensaje de Al2000 al respecto es correcto, esto no]

c) Para obtener el potencial entre las dos cortezas:

$$V = - \int_{c}^{b} \! \vec{E} d \vec{r}$$

Como $\vec{E}$ y $\vec{r}$ son paralelos, la expresión anterior se reduce a:

$$V = - \int_{c}^{b} \! E dr$$

d) No puedo ayudarte

[Al2000]

Re: corteza esférica conductora y aislada

Una pequeña corrección respecto a la respuesta del inciso c). Tu respuesta determina la diferencia de potencial entre las superficies b y c, pero lo que se pide es el potencial en la región. El potencial en la región puede obtenerse de forma similar a lo que planteas, sólo que integrando desde el infinito:

$$V_{(r)} = - \int_{\infty }^{r}\!\! \vec E \cdot d \vec r, \quad b \leqslant r \leqslant c$$

En definitiva, el potencial en esta región será el resultado de la superposición de los potenciales de la corteza no conductora (similar al de una carga puntual) y los potenciales de las dos superficies de la corteza conductora. Si $Q$ es la carga total de la corteza no conductora, entonces el potencial en $b \leqslant r \leqslant c$ vale:

$$V_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q r + \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {-Q} c + \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q d, \quad b \leqslant r \leqslant c$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[cucuru]

Re: corteza esférica conductora y aislada

Estoy completamente deacuerdo con vuestros desarrollos si la corteza está descargada, pero ¿puedo asumirlo?¿ para que me dan el dato de aislada, que me aporta?

d) No puedo ayudarte

Este apartado es bastante fácil, como piden densidad son densidades superficiales:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


De manera general:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Bustikiller]

Re: corteza esférica conductora y aislada

En principio si no te dicen que la corteza esté cargada, puedes entender que está descargada. Al estar aislada la corteza, la presencia de la carga en su interior induce una distribución de carga en la corteza (con carga total nula en la corteza). Si, por ejemplo, la corteza estuviera conectada a tierra en lugar de estar aislada, no se induciría esta carga.

[Al2000]

Re: corteza esférica conductora y aislada

Abundando en lo que te apunta Bustikiller, el dato de que la corteza está aislada te informa que la superficie externa puede tener carga y que el potencial de la corteza puede ser distinto de cero. Por el contrario, si te dijeran que la corteza está conectada a tierra, entonces la carga en la superficie externa sería cero y el potencial de la corteza también sería cero.

Si la corteza conductora (estando aislada) tuviese una carga $Q_{cc}$, entonces la carga en la superficie externa sería $Q + Q_{cc}$ y se alterarían los valores correspondientes al campo en puntos exteriores (r > d) y el potencial en todo el espacio.

Saludos,

$\mathcal A \ell$