Equivalente de Thevenin

[Alriga]

Procedemos a resolver este viejo ejercicio en el que se pide el equivalente Thevenin de un circuito en el que hay acoplamientos magnéticos, lo cual lo hace menos habitual. Nos pide que determinemos el equivalente de Thévenin del circuito y que obtengamos una realización del mismo en el dominio del tiempo.

a) Para resolverlo, primero convertimos la fuente de corriente “ig” que está en paralelo con la resistencia “R” en una fuente de tensión U con resistencia serie R equivalente: con ello nos quedará una única malla.

Como nos dan la tensión de pico de ig que es de 2 A, trabajamos con valores de pico (no con valores eficaces). El circuito del enunciado es equivalente al circuito de arriba de la siguiente imagen, en donde los 40V son de pico:

$i_g=2+j 0$

$U=i_g R=(2+j0)20=40+j0$

$w=2\pi 10^6=6283185.3 \ rad/s$

$X_{L_1}=w L_1=9.9965 \ \Omega$

$X_{L_2}=w L_2=19.9994 \ \Omega$

$X_M=w M=5.0265 \ \Omega$

Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff a la única malla existente:

$40=I 20+ ( I jX_{L_1}- I jX_M) + ( I jX_{L_2}- I jX_M )$

El signo de los sumandos $I jX_M$ es negativo porque en una bobina la corriente entra por el punto y en la otra sale por el punto.

$40=I \big (20+ j (X_{L_1}+X_{L_2}- 2 X_M ) \big )$

$I=\dfrac{40}{20+j 19.9428}=1.0029-j 1$

La tensión de Thevenin entre A y B es la que hay en bornes de la bobina L2:

$U_{AB}=I ( jX_{L_2}-jX_M )=(1.0029-j 1) j14.9728$

$U_{AB}=14.9725+j 15.0157 = 21.2051\angle 0.7868 =21.2051 \angle 45.08^{\circ}$

(Recordemos que 21.2051 V es el valor de pico, no el eficaz)

Para obtener la impedancia de Thevenin primero cortocircuitamos A con B y calculamos la corriente de cortocircuito:

$I_{cc}=\dfrac{U}{R+jX_{L_1}}=\dfrac{40}{20+j 9.9965}=1.6002-j0.7998$

$Z_{th}=\dfrac{U_{AB}}{I_{cc}}=\dfrac{14.9728+j15.0157}{1.6002-j 0.7998}=3.7338+j11.2497$

Esta impedancia tiene una parte real

$R_{th}=3.7338 \ \Omega$

Y una parte imaginaria

$X_{th}=j 11.2497 \ \Omega$

Esta reactancia corresponde a una inductancia:

$L_{th}=\dfrac{X_{th}} w =\dfrac{11.2497}{6283185.3}=1.79 \ \mu H$

En el dominio del tiempo:

$u_{th}(t)=21.2051 \cos (2\pi10^6 \ t+0.7868)$

Y el esquema equivalente pedido es el dibujado en la parte inferior de la figura.

b) Si no se desea transformar inicialmente la fuente de corriente a fuente de tensión, puede plantearse directamente el método de los nudos en el nudo “C” que es en el que coinciden la fuente de corriente $i_g$ la resistencia $R$ y la bobina $L_1$ :

$2=\dfrac{U_C}{20}+\dfrac{U_C}{ j X_{L_1}- j X_M+ j X_{L_2}- jX_M}$

Se despeja $U_C$ y operando se obtiene:

$U_C=19.9427+j 19.9999$

Aplicando "divisor de tensión":

$U_{AB}=U_C \dfrac{X_{L_2}-X_M}{X_{L_1}+X_{L_2}- 2 X_M}$

A partir de aquí es sencillo continuar para conseguir lo que el enunciado solicita.

Saludos.

[Rodri]

Re: Equivalente de Thevenin

1) El generador es de corriente, por tanto desactivarlo consiste en sustituirlo por un circuito abierto. Considera esa red (con ig en abierto).
2) Pon un generador de tensión en la salida: V
3) Obtén la corriente por el generador resolviendo la red por nudos o por mallas: I. Para ello ten en cuenta que las bobinas están acopladas.
4) Entonces Z=V/I

Buenas estoy teniendo unos problemillas para encontrar el equivalente de Thevenin siguiente:




Haciendo la transformada fasorial ya he obtenido que $V_{TH}=15+15j$ y $v_{TH}(t)=21.21cos(2\pi 10^6t+\frac{\pi}{ 4})$

Ahora para la impedaancia de Thevenin sé que tengo que desactivar los generadores y colocar un generador de prueba, sacar V, sacar I y dividir para obtener la impedancia pero no sé muy bien cómo hacerlo.
Alguien podría mostrarme cómo sería el procedimiento para obtener la impedancia de Thevenin en este caso?

Muchas gracias de antemano.

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