1r ciclo Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

[Markobar]

Hola a todos!

Me gustaria saber, o al menos cómo poder calcular la formula que
da el valor de una resistencia en coordenadas cilindricas (entre r =
r1 y r = r2; entre theta = theta1 y theta = theta2 y entre z = z1 y z
= z2) donde la diferencia de potencial se situa entre las superficies
planas definidas por:


r1, r2, z1, z2 y theta1



y



r1, r2, z1, z2 y theta2


Muchas gracias!!

[aLFRe]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

Lo siento porque estoy despistado.
No sé si te refieres a un conductor con forma de sector circular
al que le has metido un bocado entre dos valores del ángulo azimutal.
Si es así veo bastante problemático que lo calcules por
el mecanismo que te voy a contar pero no se me ocurre otro.

1. Calculas el campo eléctrico por la ley de Gauss.
La diferencia de potencial entre las placas es menos la circulación
del campo eléctrico.

2. A partir del campo usas la ley de ohm
para calcular la densidad de corriente
$\vec{J}=\sigma \vec{E}$
donde $\sigma$ es el tensor conductividad,
la resistividad es su inverso.


3. Calculas la intensidad $I = \int\,\int\, \vec{J}d\vec{S}$

4. Finalmente, la resistencia la obtienes a partir de la razón $\frac{V}{I}$

Un saludo y suerte.

[Jose D. Escobedo]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

Ademas, de las indicaciones de aLFRe, usa el operador $\nabla$ en coordenadas cilindricas.


$\nabla V = \left( \hat r \frac{\partial }{\partial r} + \hat \phi \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \hat k \frac{\partial}{\partial z} \right)V = -\vec E$


y como pista para este problema te diria que la variacion esta en $\phi$ o $\theta$ para tu caso

[Markobar]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

Os explico cómo lo he hecho para ver si estáis de acuerdo:

Para calcular el campo eléctrico, primero he calculado el potencial:

laplaciano de V = 0 (lo siento pero no encuentro cómo poner ecuaciones)

En coordenadas cilíndricas, en principio V sólo depende de theta. Así que resolviendo la ecuación tenemos:

V = A * theta + B (para r diferente de 0)

donde las constantes de integración A y B se calculan con las condiciones iniciales V1 y V2 (tensiones sobre las superfícies):

V = (V1-V2)/(theta1-theta2) * theta + (V2*theta1-V1*theta2)/(theta1-theta2)

Siguiendo los pasos que me habéis indicado:

E = -grad V (donde E es un vector que sólo tiene componente en theta)

E = - (V1 - V2)/(theta1-theta2) = (V2 - V1)/(theta1-theta2)

Por otro lado, I se calcula directamente como:

I = sigma*E*S, puesto que los vectores son paralelos y E no depende ni de "z" ni de "r"

I = sigma * (V2 - V1)/(theta1-theta2) * (z2-z1)*(r2-r1)


Finalmente, Z = U/I

Z = (V2-V1)/(sigma * (V2 - V1)/(theta1-theta2) * (z2-z1)*(r2-r1))

donde simplificando:

Z = (theta1-theta2)/(sigma * (z2-z1)*(r2-r1))

¿Veis algún error? No debe estar bien, pq la diferencia entre theta1 y theta2 es un valor negativo :-S

No lo veo claro del todo... además, parece una fórmula inconsistente en unidades... theta1-theta2 no tiene unidades de longitud...

[Jose D. Escobedo]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

Para $\nabla^2 V= \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2}= 0$ => $V= A \phi + B$ me parece correcto y estoy de acuerdo contigo.

Luego para $\theta_1$ tenemos que $V=0$ y para $\theta_2$ tenemos $V=V_0$ =>

$V=V_0 \left(\frac{\theta - \theta_1}{\theta_2 - \theta_1} \right)$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Finalmente, $I= \int \int_R \sigma \vec E \cdot \hat n d A$

$\hat e_\theta \cdot \hat n = -1$ por que un versor esta en direccion de $\theta_1$ a $\theta_2$ y el area esta opuesta para este caso.

[Jose D. Escobedo]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

Se me olvidaba decirte que la solucion del problema anterior es teniendo en cuenta que el campo electrico $\vec{E}$ uniforme; pero en el caso de que $\vec{J}$ fuera uniforme, entonces:

$I=\int_S \vec{J} \cdot \hat n dA = J \int_S \hat{e_\theta} \cdot \hat n dA$ y este resultado va sustituido en $V=-\int E r d \theta$

[Markobar]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

Muchas gracias por la ayuda!

Creo que ya he llegado a la solucion:

Suponiendo que la corriente es uniforme llego a esta expresion:

I = (sigma * (Vo) * ln(r2/r1) * (z2-z1)) / (theta2 - theta1)

Como Z = U/I

Z = (theta2 - theta1) / (sigma *ln(r2/r1) * (z2-z1))

Esta si parece una formula dimensionalmente correcta.
Estoy equivocado? He hecho de nuevo algun error?

[aLFRe]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

En coordenadas cilíndricas, en principio V sólo depende de theta.

Esta hipótesis de partida tuya
no la veo nada clara.

[Jose D. Escobedo]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

aLFRe, imagina que tienes un alambre colocado en la circunferencia de un circulo que a su vez esta area-circulo forma parte de un cilindro. Si lo desprendes del cilindro, lo extiendes y con el haces en un circuito con una bateria, observaras que el voltaje cambia con la distancia (se puede tomar como una analogia a las resistencias en serie); pero en el caso del segmento de cilindro, la longitud estaria determinada por $r \Delta \theta$, y r seria constante por que esta ligado/a al radio, mientras que el angulo es el que varia; asi que habra una dependencia entre el angulo y el voltage en este caso.


Hasta, creo que este problema se puede calcular aproximadamente utilizando lla foprrmula de resistividad.


$R= \rho \frac{L}{A} = \frac{L}{\sigma A}$

$A=\left( z_2 - z_1 \right) \left( r_2 - r_1 \right)$ y $L= r_1 \Delta \theta$

=> $R= \frac{r_1 \Delta \theta}{ \sigma \left( z_2 - z_1 \right) \left( r_2 - r_1 \right)}$

ademas de donde, $\frac{\left( r_2 - r_1 \right)}{r_1}$ es ~ ln$\frac{r_2}{r_1}$ para el caso de que $r_1$ se aproxime mucho a $r_2$

Asi que estoy de acuerdo con Markobar en su solucion del hilo anterior al de aLFRe, para el caso de que $\vec E$ sea uniforme.

[Markobar]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

Gracias de nuevo por la ayuda Jose D. Escobedo y aLFRe.

Entonces, para calcular la resistencia con densidad de corriente constante, ¿Se podría hacer así?

Densidad de corriente, constante:

J = I/((z2 - z1) * (r2 - r1))


Campo eléctrico (vector constante, que depende solo de theta):

E = J/sigma = (I) / (sigma * (z2 - z1) * (r2 - r1))

Haciendo la integral que hay 4 posts más arriba:

V = (I * (theta2 - theta1)* r)/(sigma * (z2 - z1) * (r2 - r1))

Entonces Z = V/I

Z = ((theta2 - theta1) * r)/(sigma * (z2 - z1) * (r2 - r1))

Y me queda un resultado dimesionalmente correcto... pero que depende de r!!!

[Jose D. Escobedo]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

En realidad, hay que ver cual es el problema original por que podria haber mas datos que no expusiste en tu planteamiento. Como por ejemplo en el post #9 como nada fue mencionado en relacion al radio, yo use a la variable r como $r_1$ ; pero podria haber usado cualquier valor entre $r_1$ y $r_2$. Tu por ejemplo, podrias usar tambien el punto medio $r = \frac{r_1 + r_2}{2}$ y la aproximacion de $2 \frac{r_2 -r_1}{r_2 + r_1}$ a ln$\frac{r_2}{r_1}$ seria tan buena o mejor que la expuesta en el post #9 ( especialmente con la condicion antes mencionada de que $r_1$ se acerca a $r_2$).

[Markobar]

Re: Cálculo de la resistencia de un elemento cilíndrico

El problema de partida era ese exactamente... Si tengo un elemento cilindrico, saber cual era el valor de su resistencia en funcion de la geometria y el material del que esta hecho. Igual resulta un problema demasiado general ya que no hay ninguna aplicacion concreta.

De todas formas, el resultado Z = (theta2 - theta1) / (sigma *ln(r2/r1) * (z2-z1))

me parece coherente.