Secundaria Ayuda ejercicio calcular parámetro

[dosa]

Buenas tardes amigos,

me puede ayudar con este problema, no sé como empezar. Muchas gracias con anticipación.

En una region del espacio, las componentes del campo electrostatico $\vec{E}$ son E_x = 0, E_y = a + y y E_z = z. Calculad el parametro a si la diferencia de potencial entre los puntos P (1, 1, 1) y el origen de coordenadas O es nulo. Considerad que las magnitudes estan expresadas en unidades del sistema internacional (SI).

[Breogan]

Re: Ayuda ejercicio calcular parámetro

Hola:

No me acuerdo mucho del tema, y no se si la solución que te proponga es la mas sencilla.

El campo eléctrico como vector es:

$\dst \vec E = E_x \hat i + E_y \hat j + E_z \hat k$

Y la diferencia de potencial entre dos puntos esta dado por:

$\dst V_{01} = - \int_{\Gamma_{0 \to 1}} \ \vec E \ d \vec s$


donde $\dst \Gamma_{0 \to 1}$ es cualquier camino que valla del punto 0 (0 , 0 , 0) al punto 1 (1 , 1 , 1), y ds es el versor que define el camino.

En particular este camino lo podes dividir en tres caminos sucesivos; uno que valla del punto (0 , 0 , 0) al punto (1 , 0 , 0) y en este camino se cumplirá que $\dst d \vec s = dx \hat i$ ya que te estas desplazando únicamente sobre el eje "x", un segundo camino que va del punto (1 , 0 , 0) al punto (1 , 1 , 0) con un diferencial $\dst d \vec s = dy \hat j$ ya que solo te desplazas en la dirección del eje "y", y un tercer camino que va del punto (1 , 1 , 0) al punto (1 , 1 , 1) y el diferencial $\dst d \vec s = dz \hat k$.

Resolves las tres integrales, igualas al dato de la ddp dada en el enunciado y averiguas el valor del parámetro.

Otra forma sería encontrar la funcion potencial que da origen al campo electrico dado:

$\dst \vec E = - \ \vec \nabla V$

s.e.u.o.

Suerte

- - - Actualizado - - -

Me olvide de decir que antes de aplicar lo previamente dicho y para que sea valido, se debe verificar que el campo dado es conservativo. Para ello hay que hallar el rotor del campo eléctrico dado y debe cumplir que:

$$\dst \vec \nabla \times \vec E = \vec 0$$

Donde:

$\dst \vec E = E_x \hat i + E_y \hat j + E_z \hat k$

$\dst \vec \nabla = \frac{\partial }{\partial x} \ \hat i + \frac{\partial }{\partial y} \ \hat j + \frac{\partial }{\partial z} \ \hat k$

y

$E_x = 0 \ , \ E_y = a + y \ , \ E_z = z$

Desarrollando la 1:

$\dst \vec \nabla \times \vec E = \left ( \frac{\partial E_z}{\partial y} -\frac{\partial E_y}{\partial z} \right) \ \hat i + \left ( \frac{\partial E_x}{\partial z} -\frac{\partial E_z}{\partial x} \right) \ \hat j + \left ( \frac{\partial E_y}{\partial x} -\frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \ \hat k$

Se ve de la anterior que el rotor del campo E es nulo para cualquier valor del parámetro a, por que todas las derivadas parciales son idénticamente nulas, por lo cual dicho campo sera siempre conservativo independientemente del valor de a.

s.e.u.o.

Suerte

- - - Actualizado - - -

Voy a intentar aportar la solución por el segundo método, que a mi criterio es el mas difícil, y es hallar la función potencial.

Transcribo algunas formulas enumeradas con anterioridad

$\dst \vec E = - \ \vec \nabla V(x,y,z)$

$\dst \vec E = E_x \hat i + E_y \hat j + E_z \hat k$

$\dst \vec \nabla = \frac{\partial }{\partial x} \ \hat i + \frac{\partial }{\partial y} \ \hat j + \frac{\partial }{\partial z} \ \hat k$

Desarrollando el operador nabla sobre la función potencial, y reemplazando el campo E por su desarrollo queda una igualdad vectorial:

$\dst E_x \hat i + E_y \hat j + E_z \hat k = - \frac{\partial V(x,y,z)}{\partial x} \ \hat i - \frac{\partial V(x,y,z)}{\partial y} \ \hat j - \frac{\partial V(x,y,z)}{\partial z} \ \hat k$

Por igualdad de vectores esto da lugar a tres ecuaciones escalares:

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Los valores de las componentes del campo eléctrico son:

$E_x = 0 \ , \ E_y = a + y \ , \ E_z = z$

Por lo tanto (2) se transforma en:

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Integrando cada ecuación en (3), y teniendo en cuenta que por tratarse de derivadas parciales la constante de integración puede ser función de las otras variables respecto de las que no se integra, (3) se transforma en:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde por claridad deje las constantes numéricas (C1,C2,C3) expresadas explicitamente. Derivando las ecuaciones (4) se puede comprobar fácilmente que se hallan las ecuaciones (3).

Ahora igualamos la 1º y la 2º ecuaciones de (4):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

comparando las variables que aparecen en el 1º miembro con las que aparecen en el 2º miembro, podemos ver que en este ultimo no debe aparecer la variable x, por lo tanto debe ser (como máximo):

$\dst V_2 (x,z) = \phi (z)$

y entonces quedara:

$\dst - V_1(y,z) + C_1 = - a y - \frac {y^2} 2 - \phi(z) + C_2$

Ahora igualando a esta con la 3º ecuación de (4) (teniendo en cuenta la 1º), tenemos:

$\dst - a y - \frac {y^2} 2 - \phi(z) + C_2 = - \frac {z^2} 2 - V_3(x,y) + C_3$

comparando 1º y 2º miembro como en el caso anterior llegamos a:

$\dst V_2 (x,z) = \phi (z) = \frac {z^2} 2 \quad y \quad V_3(x,y) = a y + \frac {y^2} 2$

que reemplazando estas en la 2º o la 3º ecuación de (4) según corresponda, y renombrando constantes llegamos a:

$$\dst \boxed{ V(x,y,z) = - a y - \frac {y^2} 2 - \frac {z^2} 2 + C}$$

que es la función del potencial eléctrico que da origen al campo dado en el enunciado del problema.
Esto se puede probar aplicando el operador gradiente a esta ultima, obteniendo de esta manera el campo eléctrico original.

Por ultimo queda hallar el potencial en los dos puntos dados por el enunciado:

$\dst V(0,0,0) = - a 0 - \frac {0^2} 2 - \frac {0^2} 2 + C = C$

$\dst V(1,1,1) = - a 1 - \frac {1^2} 2 - \frac {1^2} 2 + C = -a - 1 + C$

Haciendo la diferencia de potencial entre los dos puntos, en este caso no importa el orden ya que la ddp debe ser cero, queda:

$\dst V(0,0,0) - V(1,1,1) = C - ( -a - 1 + C ) = a + 1 = 0$

por lo tanto el resultado es:

$\dst \boxed {a = -1}$

Hace mucho tiempo que no hago ejercicios de este tipo, así que sería bueno que lo revisaran a fondo.

s.e.u.o.

Suerte

[dosa]

Re: Ayuda ejercicio calcular parámetro

Buenas Breogán, ya conseguí hacerlo ayer pero de todas maneras muchas gracias por su ayuda y por sus explicaciones.

[Breogan]

Re: Ayuda ejercicio calcular parámetro

Para completarlo, y para verificar que el resultado anterior esta bien, lo quiero hacer por el primer método dado por:

$$\dst V_{01} = - \int_{\Gamma_{0 \to 1}} \ \vec E \ d \vec s$$

donde el campo electrico es de la forma:

$\dst \vec E = E_x \hat i + E_y \hat j + E_z \hat k$

cuyas componentes según el enunciado valen:

$E_x = 0 \ , \ E_y = a + y \ , \ E_z = z$

quedando:

$\dst \vec E = (a + y) \hat j + z \hat k$

La integral (1) se puede resolver de muchas maneras, la primera que voy a usar es dividir el camino original en tres caminos:

$\dst \Gamma_{0 \to 1} = \Gamma_{(0,0,0) \to (1,1,1)} = \Gamma_{(0,0,0) \to (1,0,0)} + \Gamma_{(1,0,0) \to (1,1,0)} + \Gamma_{(1,1,0) \to (1,1,1)}$

por lo cual la integral de linea, por sus propiedades, queda:

$\dst \int_{\Gamma_{0 \to 1}} \ \vec E \ d \vec s = \int_{\Gamma_{(0,0,0) \to (1,0,0)}} \ \vec E \ d \vec s + \int_{\Gamma_{(1,0,0) \to (1,1,0)}} \ \vec E \ d \vec s + \int_{\Gamma_{1,1,0) \to (1,1,1)}} \ \vec E \ d \vec s$

Como cada camino es paralelo a uno de los ejes coordenados, y reemplazando E por su expresión, la anterior queda:

$\dst \int_{\Gamma_{0 \to 1}} \ \vec E \ d \vec s = \int_0^1 \ [(a + y) \hat j + z \hat k] \ dx \hat i + \int_0^1 \ [(a + y) \hat j + z \hat k] \ dy \hat j + \int_0^1 \ [(a + y) \hat j + z \hat k] \ dz \hat k$

Resolviendo los productos escalares y haciendo las integrales:

$\dst \int_{\Gamma_{0 \to 1}} \ \vec E \ d \vec s = \int_0^1 \ (a + y) dy + \int_0^1 \ z \ dz =$

$\dst = \left[ a y + \frac 1 2 y^2 \right]_0^1 + \left[\frac 1 2 z^2 \right]_0^1 = a + \frac 1 2 + \frac 1 2 = a + 1$

Por lo tanto:

$\dst V_{01} = - (a + 1) = 0 \quad \Rightarrow\quad a = - 1$

Otro camino con que se puede integrar, y que parece mas facil seria:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que es la ecuación parametrica de una recta que pasa por el punto 0 y el punto 1, cuyo diferencial de camino es:

$\dst d \vec s = dt \ (\hat i + \hat j + \hat k)$

y el campo electrico E sobre cada punto de la recta esta dado por:

$\dst \vec E = (a + t) \hat j + t \hat k$

La integral (1) queda:

$\dst V_{01} = - \int_{\Gamma_{0 \to 1}} \ \vec E \ d \vec s = - \int_0^1 \ [(a + t) \hat j + t \hat k] \ [dt \ (\hat i + \hat j + \hat k)]=$

$\dst V_{01} = - \int_0^1 \ (a + t) \ dt - \int_0^1 \ t \ dt = - (a + 1) = 0$

Confirmando nuevamente el resultado anterior.

s.e.u.o.

Suerte

[fuentes225]

Re: Ayuda ejercicio calcular parámetro

Yo creo que para ti será quizás más fácil de asimilar el segundo procedimiento.¿Cuál has hecho?