1r ciclo Ejercicio conductor

[fuentes225]

Buenos días amigos,

me pueden ayudar con un ejercicio que puede entrar en un examen que voy a tener y no sé como hacerlo... Me imagino que hay que hacerlo mediante el teorema de Gauss, pero no se por dónde cogerlo,ya que solo he hecho un ejercicio por teorema de Gauss anteriormente.... El problema es el siguiente:




he hecho un dibujo con Paint jaja representando un poco la situación:



¿Me pueden ayudar por favor? Me gustaría saber como hacerlo.

Un saludo y gracias a todos.

[Breogan]

Re: Ejercicio conductor

Hola:

Para resolverlo tenes que recordar algunas definiciones, por lo cual te recomiendo que releas tus apuntes. En este mensaje no voy a entrar profundamente en la parte teórica.

Dentro del dieléctrico se definen tres campos cada uno asociado a un tipo de carga:

$\dst \vec D$: Asociado a las cargas libres exclusivamente

$\dst \vec P$: Asociado a las cargas de polarización exclusivamente

$\dst \vec E$: Asociado a las cargas libres + las cargas de polarización

Entre ellas queda definida la relación:

$$\dst \vec D = \varepsilon_0 \vec E + \vec P$$

En medios dieléctricos lineales e isotropos se cumple que P es proporcional a E, y tiene su misma dirección:

$\dst \vec P = X_e \varepsilon_0 \vec E$

quedando:

$\dst \vec D = \varepsilon_0 \vec E + X_e \varepsilon_0 \vec E =(1 + X) \varepsilon_0 \vec E = \varepsilon_r \varepsilon_0 \vec E = \varepsilon \vec E$

$$\dst \vec D = \varepsilon_r \varepsilon_0 \vec E$$

También se demuestra que la ley de Gauss toma las siguientes formas:

$$\dst \oint_S \vec E \ d \vec S = \frac {q_{libres + polarizacion}}{\varepsilon_0}$$

y

$$\dst \oint_S \vec D \ d \vec S = q_{libres}$$

Ahora volviendo al problema, 1º aunque no lo dice se supone que estamos hablando de esferas, la carga libre en el conductor central lo podes averiguar por medio de la formula (4) tomando como superficie de integración una esfera de radio 6.5 cm. donde, por simetría se ve que el vector desplazamiento (que es radial) es paralelo al elemento de superficie y de valor constante sobre toda la superficie, quedando:

$$\dst D \oint_S \ d S = q_{libres}$$

Con la ecuación (2) podes calcular la permitividad relativa del material.

De la ecuación (1) podes despejar el valor del vector polarización.

s.e.u.o.

Suerte

[fuentes225]

Re: Ejercicio conductor

Gracias Breogan! Entonces, a ver si lo he entendido:

Como en los medios dieléctricos lineales e isotropos $\vec{P}$ y $\vec{E}$ tienen la misma dirección, es decir, son paralelos, por lo que tus igualdades vectoriales se convierten en las siguientes igualdades vectoriales:

$D={\varepsilon}_{0}E+P$ (1)

$D={\varepsilon}_{r}{\varepsilon}_{0}E$ (2)

Para el apartado (a), despejamos ${\varepsilon}_{r}$ de la ecuación (2) y tenemos:

${\varepsilon}_{r}=\frac{D}{{\varepsilon}_{0}E}=2.99$

Para el apartado (b), despejamos P de la ecuación (1) y tenemos:

$P=D - {\varepsilon}_{0}E=1,332\cdot{10}^{-6} C/{m}^{2}$

¿Voy bien?

Con respecto al apartado (c), del cual no sé exactamente como hacerlo, he dibujado una superficie de Gauss de radio r= 6,5cm para calcular la densidad volumétrica de carga $\rho$ del conductor de ${r}_{1}$.

Por el teorema de Gauss se sabe que ${\oint}_{S}\vec{E}d\vec{S}=\frac{{Q}_{int}}{{\varepsilon}_{0}}$ (la fórmula (3) y (4) que has expuesto no aparecen en mi libro ni en mis apuntes ). Lo que he hecho, ha sido calcular por separado ${\oint}_{S}\vec{E}d\vec{S}$ y $\frac{{Q}_{int}}{{\varepsilon}_{0}}$ y he obtenido (sé que es erróneo):

${\oint}_{S}\vec{E}d\vec{S}={\oint}_{S}EdS=E{\oint}_{S}dS=E4\pi{r}^{2}$ y por otro lado:




Entonces:

$E4\pi{r}^{2}=\frac{\rho\frac{4}{3}\pi{r}^{3}}{{\varepsilon}_{0}}$ y de ahí obtengo que:

$\rho=\frac{3E{\varepsilon}_{0}}{r}$ y ya solo quedaría sustituir, pero no lo he hecho porque sé que mis cálculos no son buenos.¿ Puedes ayudarme por favor?

Muchas gracias por tu ayuda.

[Breogan]

Re: Ejercicio conductor

Hola:

Los dos primeros puntos están bien, con el pequeño comentario que me extraña que no te den el valor de $\varepsilon_0$ en el enunciado.

En cuanto al punto c, como anunciaste, esta mal.
Cuando vos aplicas Gauss en un medio que contiene un dielectrico sometido a un campo eléctrico, esta superficie encierra (en este caso) la carga libre ubicada en el conductor del centro pero ademas encierra una carga inducida en el dielectrico, por lo cual se dice que el campo eléctrico esta vinculado a las cargas eléctricas libres y de polarización.
Entonces la ley de Gauss en un medio dielectrico es la (3):

$\dst \oint_S \vec E \ d \vec S = \frac {q_{libres} + q_{polarizacion}}{\varepsilon_0}$

Operando se puede llegar a otra forma de ponerlo:

$\dst \oint_S \vec E \ d \vec S = \frac {q_{libres}} {\varepsilon_r \ \varepsilon_0}$

donde ya no aparecen las cargas de polarización, y la permitividad que aparece es la del material. Entonces las cargas libres son:

$\dst q_{libres} = \varepsilon_r \ \varepsilon_0 \oint_S \vec E \ d \vec S = \varepsilon_r \ \varepsilon_0 \ E \ 4 \ \pi \ r^2$

y la densidad que te piden:

$\dst \rho_{libres} = \frac {q_{libres}}{V} = \frac {\varepsilon_r \ \varepsilon_0 \ E \ 4 \ \pi \ r^2}{\dst \frac 4 3 \ \pi \ r^3}$

$\dst \rho_{libres} = 3 \ \varepsilon_r \ \varepsilon_0 \ \frac {E}{r}$

que se diferencia de la que vos obtuviste solo en que aparece $\varepsilon_r$

Si en la ultima reemplazas que $D={\varepsilon}_{r}{\varepsilon}_{0}E$, queda:

$\dst \rho_{libres} = 3 \ \frac {D}{r}$

Que sale directamente de aplicar la ley de Gauss para el vector desplazamiento eléctrico, ecuación (4) de mi anterior mensaje:

$$\dst \oint_S \vec D \ d \vec S = q_{libres}$$

s.e.u.o.

Suerte

[fuentes225]

Re: Ejercicio conductor

Muchas gracias Breogan, ya lo he entendido todo. Por cierto, lo de que no me dan el valor de la permitividad en el problema es porque se supone que tengo que saber el valor de la constante. Gracias por todo!