Otras carreras Ley de Coulomb

[Roose Bolton]

Dos lineas de carga de la misma longitud L, son paralelas entre si y descansan sobre el plano xy. Ambas tienen la misma densidad lineal de carga \lambda=const. Encontrar la fuerza total sobre II debido a I.


Necesito ayuda con este ejercicio ya que lo he intentado varias veces pero no consigo llegar a la respuesta

[Al2000]

Re: Ley de Coulomb

Algunos prefieren usar un cálculo directo planteando la ley de Coulomb y resolviendo una integral doble. Yo prefiero usar el paso intermedio de calcular el campo de un filamento y luego calcular la fuerza que ejerce ese campo sobre el otro filamento. Es tu decisión como deseas hacerlo.

Para hacerlo de la segunda forma, empieza por calcular el campo que produce el filamento I en un punto cualquiera (x,y):

$$\boldsymbol E_{(x,y)}= \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int \frac {dq}{r^3} \boldsymbol r$$

Si tomas como elemento de carga un pequeño pedacito en la posición $(0,y')$ y de longitud $dy'$, la carga $dq$ valdrá $dq = \lambda \, dy'$ y el vector $\boldsymbol r$ será $\boldsymbol r = x\, \boldsymbol u_x + (y-y')\, \boldsymbol u_y$. El campo entonces será

$$\boldsymbol E_{(x,y)}= \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \int_0^L \frac {dy'}{[x^2 + (y - y')^2]^{3/2}} [x\, \boldsymbol u_x + (y-y')\, \boldsymbol u_y]$$

Nota que, dada la simetría del problema, sólo necesitarás la componente X del campo, pues las fuerzas en Y sobre el filamento II se anularán, en caso de que desees abreviar el cálculo.

Una vez que tengas $\boldsymbol E_{(x,y)}$, la fuerza sobre el segundo filamento la consigues aplicando la definición del campo eléctrico, $d \boldsymbol F = \boldsymbol E\, dq$, e integrando a toda la carga del filamento II:

$$\boldsymbol F = \int \boldsymbol E_{(a,y)}\, dq = \lambda \int_{0}^{L}\!\! \boldsymbol E_{(a,y)}\, dy$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Nitroni]

Re: Ley de Coulomb

Al2000, el campo que genera el hilo I no seria constante a lo largo del eje y ? . Solo dependera del radio de la superficie gaussiana que escojas, con valor.

$\displaystyle E=\frac{\lambda}{ 2\pi{\varepsilon}_{0 }a}$

[Al2000]

Re: Ley de Coulomb

No, eso sería cierto si el hilo fuese infinito, pero no lo es. Toma en cuenta que, como regla general, el campo que produce cualquier distribución de cargas de extensión finita disminuye al alejarte de ellas en cualquier dirección.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Roose Bolton]

Re: Ley de Coulomb

Al2000 entiendo muy bien tu respuesta, pero quisiera saber como hacerlo usando solo la ley de coulomb, ya que el tema que estamos viendo es ley de coulomb y aun no hemos estudiado campo electrico por lo tanto se nos pide hacerlo usando solamente la ley de coulomb.

[visitante20160513]

Re: Ley de Coulomb

Supón dos elementos de carga de ambos segmentos de longitudes, $dx$ y $dy$, y situados respectivamente sobre las líneas respectivas a cotas x e y. La fuerza ejercida entre dichos elementos será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para calcular la fuerza total debes realizar la integración (dos veces, por lo tanto doble):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Debes tener en cuenta a la hora de realizar la integración que la función a integrar es vectorial, y que por lo tanto, lo que se suma en este caso son vectores. Como sabemos ya de antemano por la simetría del problema que la resultante es de componente horizontal, podemos prescindir de las componentes verticales de dicha fuerza y realizar la integración solo de la componente horizontal, lo que va a simplificar el cálculo, aunque así y todo la resolución va a ser complicada. Los límites de integración van a ser en ambos casos $[0,\ L]$ ya que ambos segmentos tienen la misma longitud. $\vec r$ es el vector que une ambos elementos de carga.

Saludos, Jabato.

[Roose Bolton]

Re: Ley de Coulomb

mi unica duda respecto a esto es a que seria igual el vector u

[visitante20160513]

Re: Ley de Coulomb

Lee otra vez mi mensaje, por favor.

[Roose Bolton]

Re: Ley de Coulomb

entonces r=xi-(y-y')j, lo siento es que estoy un poco confundido respecto al vector r

[visitante20160513]

Re: Ley de Coulomb

El vector $\vec r$ es un vector que une ambos elementos de carga, es decir con origen en el elemento $dx$ y extremo en el elemento $dy$ Por supuesto que para cada pareja de elementos considerados su valor cambia.

[Roose Bolton]

Re: Ley de Coulomb

mi duda es como plantear ese vector

[visitante20160513]

Re: Ley de Coulomb

Si debo suponer que la distancia de separación entre ambas líneas es $a$, entonces el vector $\vec r$ tiene por componentes $\vec r(a,\ y-x)$ y su módulo vale por lo tanto:

$r=\sqrt{a^2+(y-x)^2}$

¿Lo entiendes ahora?

[Roose Bolton]

Re: Ley de Coulomb

gracias amigo ahora si se aclaro mi duda

[Al2000]

Re: Ley de Coulomb

Al2000 entiendo muy bien tu respuesta, pero quisiera saber como hacerlo usando solo la ley de coulomb, ya que el tema que estamos viendo es ley de coulomb y aun no hemos estudiado campo electrico por lo tanto se nos pide hacerlo usando solamente la ley de coulomb.

Simplemente sustituye el campo en la última ecuación y resuelve la integral doble:

$$\boldsymbol F = \frac {\lambda^2} {4 \pi \epsilon_0}\int_{0}^{L}\!\! \int_0^L \frac {a\, \boldsymbol u_x + (y-y')\, \boldsymbol u_y}{[a^2 + (y - y')^2]^{3/2}}\, dy'\,dy$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$