2o ciclo paradoja con fuerza magnetica

[Jose D. Escobedo]

Necesito ayuda con este problema por favor. Cualquier sugerencia es bienvenida.

Si consideramos una espira circular conductora en el plano "xy" y de radio "a" que lleva una corriente electrica constante "I" y la sometemos a un campo magnetico $\vec B = kz \hat k$. (Nota: la corriente fluye en sentido contrario a las manecillas del relog)
Demuetre que la fuerza ejercida por el campo es cero.
Por otro lado sabemos que la fuerza ejercida por el campo magnetico sobre un dipolo magnetico ( en este caso la espira ) se expresa como:
$\vec F = \left( \vec m \cdot \nabla \right) \vec B$
Demuestre que la fuerza es: $\vec F = mk \hat k$

Trabajo hecho:
A).- para la primera parte la fuerza actua radialmente hacia afuera y se cancela resultando cero de acuerdo la relacion $\oint d\vec F = \oint Id \vec l X \vec B$.

B).- para la segunda parte [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\vec F = \vec m X \left( \nabla X \vec B \right) + \vec B X \left(\nabla X \vec m \right) + \left( \vec m \cdot \nabla \right) \vec B + \left(\vec B \cdot \nabla \right) \vec m$

$\nabla X \vec m = 0$ por que $\vec m$ es constante (el area y la corriente lo son )

$\left( \vec B \cdot \nabla \right) \vec m = 0$ por que el operador resultante de $\left( \vec B \cdot \nabla \right)$ que actua sobre el vector contante $\vec m$ es cero tambien.

$\vec m X \left( \nabla X \vec B \right) = 0$ devido producto vectorial $\nabla$ unicamente actua con $\partial_x$ y $\partial_x$ sobre $\vec B$ por que $\vec B$ esta lacalizado en eje "z" y ademas $\vec B$ esta en funcion de z. =>

$\vec F = \left( \vec m \cdot \nabla \right) \vec B$ como esta establecido por el problema =>

$\vec F = \nabla \left( \vec m \cdot kz \hat k \right) = mk \nabla \left(z \right) = mk \hat k$

despues de esto parece ser que las dos afirmaciones contrarias de este problema son correctas; pero de alguna forma esto no puede ser.

[Estoy en ello]

Re: paradoja con fuerza magnetica

Muy curioso, el problema. Lo único que se me ocurre es que la simplificación de dipolo magnético no sea aplicable para este caso. Por otro lado, el radio puede ser tan pequeño como se quiera, por lo que sí daberíamos poder aplicar lo del dipolo....No obstante, una línea con forma de contorno de patata por la que fluyera corriente constante y que no variara esa forma también la podríamos simplificar con un dipolo de la misma manera, pero la simetria de una circumferencia (que es lo que hace que en el primer caso el resultado sea F=0) no es la misma que la de la patata ésta. Yo creo que el tema está en eso, en la simetria y que no se puede aplicar lo del dipolo magnético.