Corriente alterna

[Alriga]

Enredando por los foros he encontrado este curioso ejercicio sin resolver y me ha picado la curiosidad.

• A 50 Hz la impedancia de una de las ramas es 100/10=10 y la de la otra 100/12=8.33
• A 200 Hz la impedancia de una de las ramas es 100/19.64=5.09 y la de la otra 100/21.54=4.64

Como ambas impedancias han disminuido al aumentar la frecuencia, ambas ramas deberían ser capacitivas. Por ello se me ha ocurrido probar si el ejercicio tiene solución si ambas ramas están formadas por elementos RC así:

Trabajo en unidades del SI

50 Hz)

$$\left (\dfrac{100}{10}\right )^2=R_2^2+\dfrac 1{(100\pi C_2)^2}$$

$$\left (\dfrac{100}{12}\right )^2=R_3^2+\dfrac 1{(100\pi C_3)^2}$$

200 Hz)

$$\left (\dfrac{100}{19.64}\right )^2=R_2^2+\dfrac 1{(400\pi C_2)^2}$$

$$\left (\dfrac{100}{21.54}\right )^2=R_3^2+\dfrac 1{(400\pi C_3)^2}$$

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2), (3) y (4) obtengo que el único cuarteto de datos solución en el que todos los valores son positivos es:

$R_2=4.58111 \quad C_2=0.000358096 \qquad R_3=4.28489 \quad C_3=0.000445356$

Calculando las impedancias complejas, obtengo que los fasores corriente son:

50 Hz)

$I_2=10\angle 1.09493 \qquad I_3=12\angle 1.03074$

Pero al sumarlos, el módulo de la corriente I1 no sale 5 A, se obtiene:

$I_1=21.99\angle 1.05991$

200 Hz)

$I_2=19.64\angle 0.45165 \qquad I_3=21.54\angle 0.39508$

Al sumarlos, el módulo de la corriente I1 tampoco sale 5, se obtiene:

$I_1=41.16\angle 0.42206$

A continuación se me ha ocurrido que también es compatible con el enunciado que las 2 primeras ecuaciones sean las mismas de antes, pero las dos últimas sean:

$$\left (\dfrac{100}{10}\right )^2=R_2^2+\dfrac 1{(100\pi C_2)^2}$$

$$\left (\dfrac{100}{12}\right )^2=R_3^2+\dfrac 1{(100\pi C_3)^2}$$

$$\left (\dfrac{100}{21.54}\right )^2=R_2^2+\dfrac 1{(400\pi C_2)^2}$$

$$\left (\dfrac{100}{19.64}\right )^2=R_3^2+\dfrac 1{(400\pi C_3)^2}$$

Las nuevas soluciones que se obtienen son:

$R_2=4.0402 \quad C_2=0.000347975 \qquad R_3=4.79829 \quad C_3=0.00046719$

Pero al calcular la suma de las 2 corrientes tampoco sale 5 A, ni para 50Hz ni para 200Hz.

Llego pues a la conclusión de que este ejercicio, si tiene solución (que ya empiezo a dudar que la tenga), necesita que en al menos una de las 2 ramas haya una combinación RLC

Saludos.

[desicopy]

Re: Corriente alterna

Muchiiíiiisimas gracias Al2000, voy a pensar en lo que me dices a ver si soy capaz de resolverlo, mil gracias por tu ayuda ☺

- - - Actualizado - - -

He estado intentando resolverlo y nada. Le sigo dando vueltas a tus palabras AL 2000 y si, entiendo todo lo que me dices pero al intentar calcular la impedancia equivalente es obvio que me tiene que dar 20 en ambas experiencias y sin embargo en la primera experiencia por ejemplo, al usar los datos de las intensidades para calcular Z2 y Z3 y así hallar la Z equivalente pues observó que no da 20, ( 100=10.Z2 y 100=12.Z3 y por tanto, Z equivalnte= 4.54 pq están conectadas en paralelo ) lo cual es imposible porque V=I.Z y por tanto 100=5.Z por lo que Z=20. Llevo gastados muchísimos folios con este problema y no hay manera, pq creo que estoy cometiendo algun error y no me doy cuenta, aún así seguire pensando en lo que me dices a ver si encuentro alguna solución. Muchas gracias

[Al2000]

Re: Corriente alterna

No he resuelto el problema por completo, de modo que sólo te planteo algunas ideas para que las pienses.

- Si tanto Z2 como Z3 fuesen resistencias, entonces ninguna de las corrientes dependería de la frecuencia, contrario a lo indicado. Esto descarta esa posibilidad.

- Si una de las impedancias fuese una resistencia pura y la otra fuese una reactancia (capacitiva o inductiva), entonces la impedancia de la combinación variaría monótonamente con la frecuencia, disminuyendo siempre al aumentar la frecuencia (caso capacitivo) o aumentando siempre (caso inductivo). Pero el enunciado indica la misma corriente total para dos frecuencias diferentes, por lo cual este caso queda descartado.

- Concluimos en que una de las impedancias debe ser capacitiva (¿pura?) y la otra inductiva (¿también pura?) y que las dos frecuencias que nos dan están "a ambos lados" de la frecuencia de resonancia, ya que la impedancia de la combinación permanece constante. Si ambas reactancias son puras, entonces no es tan difícil demostrar que $L C = 1/\omega_1 \omega_2$.

Como te dije, no he terminado de analizar el asunto y por ahora no sé como proseguir. Tengo que tomar lápiz y papel y hacer algunas cuentas, pero en este momento no me es posible. Te dejo esas ideas.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[desicopy]

Hola! Llevo semanas con el problema que adjunto y no consigo resolverlo, es de oposición, alguien puede ayudarme?? Mil gracias, saludos!!