Divulgación Ecuación campo eléctrostático dipolo

[alexpglez]

Hola, acabo de leer el como se aproximan los términos del denominador de la ecuación del campo para un dipolo eléctrico, lo cuál sale una ecuación sencilla para el potencial electrostático:

$$\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{\vec{\mu}\cdot\vec{r}}{r^3}$$

donde

$$\vec{\mu}=q\vec{d}$$

y va de la carga - a la +
Entonces quería saber cómo sería el campo electróstatico. Haciendo el - grad, me ha salido:

$$\vec{E}=\frac{1}{2\pi\epsilon}\frac{\vec{\mu}}{r^3}$$

Lo he revisado y no veo errores en los cálculos, el campo eléctrico sería así¿?

[Al2000]

Re: Ecuación campo eléctrostático dipolo

No, no es así. Asegúrate de estar usando la expresión del gradiente en coordenadas polares y de tomar en cuenta en ángulo implícito en $\vec \mu \cdot \vec r$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[alexpglez]

Re: Ecuación campo eléctrostático dipolo

Pues.. lo estaba haciendo en coordenadas cartesianas..

$$\phi=\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{\vec{d}\cdot\vec{r}}{r^3}$$

$$\vec{E}=-\nabla\phi=-\frac{q}{4\pi\epsilon}\nabla((\vec{d}\cdot\vec{r})r^{-3})$$

$$\frac{\partial\vec{d}\cdot\vec{r}}{\partial x}=\frac{\partial (xd_x+yd_y+zd_z)}{\partial x}=d_x$$

$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial (x^2+y^2+z^2)^{1/2}}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}2x=r^{-1}x$$

$$\frac{\partial r^{-3}}{\partial x}=\frac{\partial r^{-3}}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}=-3r^{-4}r^{-1}x=-3r^{-5}x$$

$$\frac{\partial (\vec{d}\cdot\vec{r})r^{-3}}{\partial x}=\frac{\partial (\vec{d}\cdot\vec{r})}{\partial x}r^{-3}+\vec{d}\cdot\vec{r}\frac{\partial r^{-3}}{\partial x}=d_xr^{-3}+\vec{d}\cdot\vec{r}(-3)r^{-5}x=\frac{1}{r^3}(d_x-3\frac{\vec{d}\cdot\vec{r}}{r^2}x)$$

$$E_x=-\frac{\partial \phi}{\partial x}=-\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{\partial ((\vec{d}\cdot\vec{r})r^{-3})}{\partial x}=\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{1}{r^3}(3\frac{\vec{d}\cdot\vec{r}}{r^2}x-d_x)$$

$$\vec{E}=E_x\vec\imath+E_y\vec\jmath+E_z\vec k=\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{1}{r^3}(3\frac{\vec{d}\cdot\vec{r}}{r^2}(x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k)-d_x\vec\imath-d_y\vec\jmath-d_z\vec k)$$

$$=\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{1}{r^3}(3\frac{\vec{d}\cdot\vec{r}}{r^2}\vec{r}-\vec{d})=\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{1}{r^3}(3\vec{d}-\vec{d})=2\frac{q}{4\pi\epsilon}\frac{\vec{d}}{r^3}$$

Pues no sé en que me he equivocado... Puede que en las dos últimas ecuaciones al sumar las componentes..¿?
Gracias

[Al2000]

Re: Ecuación campo eléctrostático dipolo

$\dst (\vec d \cdot \vec r)\, \vec r \neq \vec d \,(\vec r \cdot \vec r)$ (El primero es un vector paralelo a $\vec r$ mientras que el segundo es un vector paralelo a $\vec d$.)


La expresión a la que has llegado es correcta hasta el primer término de (9). Revisa los Apuntes de electromagnetismo de [Beto] y mira al final del desarrollo para el dipolo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[alexpglez]

Re: Ecuación campo eléctrostático dipolo

Gracias, me sirvió, no conocía esa sección del foro.. Me consuela saber que aunque me equivoqué al final por inventarme una propiedad que no existe, me quedó el mismo resultado. Lo único que no le veo mucho sentido geométrico al producto del vector por un escalar dependiente del mismo vector..

$$\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{1}{r^3}(3\frac{\vec{\mu} \cdot\vec{r}}{r^2}\vec{r}-\vec{\mu})=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{(3\vec\mu\cdot\hat u_r)\hat u_r - \vec \mu }{r^3}$$

[visitante20160513]

Re: Ecuación campo eléctrostático dipolo

Hay una forma relativamente sencilla de obtener el potencial y el campo de un dipolo. Veamos consideremos que la orientación del dipolo es horizontal y que su potencial es debido a dos cargas opuestas y muy próximas situadas en $x$ y $x+dx$. Aplicando el principio de superposición tenemos que el potencial del dipolo puede obtenerse como suma de los potenciales debidos a ambas cargas, que suponiendo $dx$ muy pequeño podemos estimar como el incremento en el eje X del potencial, $V$, creado por una carga puntual, $q$, de forma que haciendo $\vec{p}=q\vec{dx}$:

$V_d=\boldsymbol{\nabla}V\cdot\ \vec{dx}=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\frac{\vec p\cdot \vec r}{r^2}$

y en consecuencia el campo creado por el dipolo se calcula entonces como:

$\vec{E_d}=-\boldsymbol\nabla V_d=-\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon}\boldsymbol\nabla\left(\displaystyle\frac{\vec p\cdot\vec r}{r^2}\right)$

NOTA: No desarrollo la expresión del campo porque no sé si merece la pena, pero no es difícil y si alguien lo necesita o tiene la curiosidad lo expongo aunque el problema se reduce al cálculo de un sencillo gradiente, pero a simple vista se ve que dicho campo variará con el inverso del cubo de r y no con el de su cuadrado.

Salu2, Jabato.