Otras carreras disipación en el tiempo del campo magnético

[mrmgranada]

Si una carga en movimiento produce un campo magnético, dicho campo no perdura eternamente, sino que conforme avanza el tiempo va desapareciendo, ¿no? ¿Cuál es la ecuación por la que se calcula el tiempo que tarda en disiparse un campo magnético?


Muchas gracias

[visitante20160513]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

No es correcta tu apreciación, mientras la carga permanezca en movimiento el campo magnético permanecerá, lo que ocurre es que si la carga presenta un movimiento rectilíneo esta se alejará y el campo ira disminuyendo lógicamente. Pero si cambiamos la disposición de los elementos y consideramos por ejemplo el campo magnético generado por una corriente constante, vemos que dicho campo permanece mientras permanezca la corriente, es decir no hay atenuación.

Salu2, Jabato.

[mrmgranada]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

No es correcta tu apreciación, mientras la carga permanezca en movimiento el campo magnético permanecerá, lo que ocurre es que si la carga presenta un movimiento rectilíneo esta se alejará y el campo ira disminuyendo lógicamente. Pero si cambiamos la disposición de los elementos y consideramos por ejemplo el campo magnético generado por una corriente constante, vemos que dicho campo permanece mientras permanezca la corriente, es decir no hay atenuación.

Salu2, Jabato.

Perdón, me he expresado mal. Imagina que hay una carga en movimiento y, por tanto, creando un campo magnético. Dicha carga pasa por el punto p (en el que yo realizo las mediciones) y, tras continuar su trayectoria a lo largo de una determinada longitud, se detiene. El campo magnético en el punto p no desaparecería exactamente en el instante en el que se detiene la carga, ¿no? Yo quiero calcular el tiempo que tardaría en desaparecer. No sé si me he explicado bien.

[visitante20160513]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

Se propagaría una onda, de forma que al final resultaría en un campo magnético nulo, aunque establecer las ecuaciones que debe cumplir la onda no lo tengo tan claro porque para que la carga se detuviera debería acelerarse y eso provoca ademas la emisión de radiación electromagnética. Nunca me he planteado ese problema pero no parece fácil resolverlo, aunque pienso que el electromagnetismo es lo suficientemente rico en ecuaciones que es probable que sí pudiera plantearse la ecuación de propagación de las ondas electromagnéticas, que es conocida, y unas condiciones de contorno adecuadas, pero debería pensármelo porque a simple vista no parece un problema sencillo. Lo primero que habría que conocer es la forma en que la carga resulta frenada y después intentar plantear las condiciones de contorno para la onda que debería generarse, complicadilla la cosa.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

El teorema de poynting establece:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El término $\dst \vec{J}.\vec{E} = q \vec {v} . \vec{E} = \vec{v} . \vec{F} = \frac{\partial {E}_{c}}{\partial t}$

Dejando de lado las variaciones de las densidades energéticas de los campos E y H, la potencia irradiada sobre unidad de superficie es igual al negativo de la variación de la energía cinética de la o de las cargas.

$\dst {\oint}_{S} \vec{E} \times \vec{H} d \vec{S} = - {\int}_{V} \frac{\partial {E}_{c} } {\partial t} d V$

Que para una única carga.

$\dst {\oint}_{S} \vec{E} \times \vec{H} d \vec{S} =- \frac{\partial {E}_{c} } {\partial t}$

Si la carga frena emite potencia y si acelera absorve potencia. Y vuelvo a repetir siempre y cuando en ese volumen donde se da las interacciones se mantegan contantes las densidades energéticas de los campos E y H

[Breogan]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

Hola:

El campo creado por una carga en movimiento es un tema bastante complejo; es mas su estudio, en gran medida. fue la base de la TRE presentada por Einstein.
Creo que para empezar a sumergirte en estos problemas es conveniente empezar por describir los campos producidos por una carga en MRU, respecto de un SR fijo al laboratorio, respecto del cual la partícula tiene una velocidad v:

$\dst \vec v = v \ \hat v$

En este caso la formula del campo en el vacio es:

$\dst \vec E = \frac q {4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac 1 {(1 - \hat r \dst \frac {\vec v} c)^3 \ r^2} \left(\hat r - \dst \frac {\vec v} c \right) \left(1 - \dst \frac {v^2}{c^2} \right) \right]$

y

$\dst \vec B = \frac 1 c \ \left[ \hat r \wedge \vec E \right]$

donde r es el vector que va desde la carga al punto donde se calcula el campo:

$\dst \vec r = r \ \hat r$

esta distancia r es variable con el tiempo, de ahí se puede explicitar la dependencia de los campos con el tiempo.

Esta formula sale mediante un procedimiento no muy simple de las leyes de Maxwell y los potenciales retardados de Lien...????? (no me acuerdo el nombre).

Cuando se gratifican las superficies equi-potenciales dadas por la formula precedente, se puede apreciar que su forma geométrica (elipses concentricas) se corresponden con una contracción de la longitud en el sentido del movimiento de la partícula, tal como sería explicado por la TRE varios años después.

NOTA: la formula la saque de los apuntes, así que espero no haberme equivocado al transcribirla.

s.e.u.o.

Suerte

PD: en el caso de cargas aceleradas, a la formula anterior le aparece otro termino que depende de la aceleración de la partícula, y que podrías ver mas adelante.

Suerte

[Julián]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

No creo necesario hacer una análisis relativista.En particular en primera instancia cuando la carga tiene un MRU tomando el laboratorio como SR habrá un campo magnético, cuyo valor varía en tiempo.

$\dst \vec{A} = \frac{\mu}{4\pi} {\int}_{V} \frac{{q}_{e} \vec{v}}{ \left\vert{}\vec{v} t - \vec{r} \right\vert{}} dV$

De esta manera el campo B es $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$

Ahora el campo eléctrico es:

$\dst \vec{E}= - \nabla \phi - \frac{\partial A}{\partial t}$

En donde $\dst \phi = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{{q}_{e}}{\left\vert{}\vec{v} t - \vec{r} \right\vert{}}$

El campo magnético en el punto p no desaparecería exactamente en el instante en el que se detiene la carga, ¿no? Yo quiero calcular el tiempo que tardaría en desaparecer. No sé si me he explicado bien.

Cuando una única carga se hacerca con velocidad cte. habrá un campo magnético y a su vez un eléctfico que aumentan y cuando se aleja habrá un campo magnético y eléctrico que diminuye. Una vez la carga está estática con respecto al laboratorio observarías solamente un campo eléctrico. Pero mientras la carga desaceleraba esta emite una onda electromagnética, es decir, observarías campos eléctricos y magnéticos variables. En el comentario anterior te he dicho como calcular la potencia sobre unidad de superficie transmitida con respecto a la variación de la energía cinética de la carga y los campos en las densidades energéticas de los campos y a partir de esta calcular el campo magnético, ya que:

$\dst {\oint}_{s} (\vec{E} \times \vec{H}) d\vec{S} = \frac{1}{\mu} {\oint}_{s} (\vec{E} \times \vec{B} ) d\vec{S} = \frac{c}{\mu} {\oint}_{s} {B}^{2} d\vec{S}$

Suponiendo un caso ideal donde la carga emite isotrópicamente

$\dst \frac{c}{\mu} {B}^{2} 4 \pi {r}^{2} =- \frac{1}{2} \varepsilon ( {E}^{2}) \frac{4 \pi {r}^{3}}{3} - \frac{\partial {E}_{c}}{\partial t}$

[Breogan]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

Hola:

No creo necesario hacer una análisis relativista.En particular en primera instancia cuando la carga tiene un MRU tomando el laboratorio como SR habrá un campo magnético, cuyo valor varía en tiempo.

Lo que plantee en mi post anterior no es ningún análisis relativista, solo es el resultado de la aplicación de las ecuaciones de Maxwell y de los potenciales retardados de Lienard-Wiechert. Que aparezcan fenómenos "relativistas" es solo consecuencia de que dichas ecuaciones ya son de por si mismas relativistas. Lo que postee es anterior a la relatividad de Einstein (alrededor del 1900).

Hablando de los potenciales de Lien....., Julian escribio:

De esta manera el campo B es

Ahora el campo eléctrico es:



En donde

Salvo que por tratarse de una carga puntual el potencial vectorial $\vec A$ no tiene una integral en su formulación, siguiendo el procedimiento citado de Julian se llega a la formula de mi mensaje anterior; sin aplicar en ningun momento la relatividad.

Ver: Capitulo 4-Radiación mediante cargas en movimiento-I. H. Hutchinson-MIT(1999)

En una carga con MRU la carga no emite energía ya que los campos dependen de $1/r^2$, pero igual los campos en un punto P varian con el tiempo. Cuando se trata de movimientos de cargas aceleradas aparecen componentes del campo que dependen de 1/r, las cuales son responsables de la disipacion de energía.

s.e.u.o.

Suerte

[Julián]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

En las ecuaciones de los potenciales se observa como varían los campos sin transmitir energía. Pero puntualmente mrmgranada preguntaba que pasaba con el campo magnético cuando se frenaba. Y por el teorema de poynting se observa que la energía irradiada, y a través de esta es posible calcular el valor pico del campo B, es igual al negativo de la variación de la energía cinética más la variación de las densidades de energía de E y B. En este caso habrá una variación en la densidad enegética de E ya que para frenarla es necesario un campo eléctrico y la carga frenada modificará el campo.

Igualmente no es lo que preguntaba mrmgranada. Sino de donde sale el tiempo desde que se frenó la carga, el tiempo en que no medirías más campo magnético es

$\dst t= \left\vert{} \vec{r} \right\vert{} \sqrt {\varepsilon \mu}$

que si está en el vacio $\frac{\left\vert{} \vec{r } \right\vert{}}{ c}$

En donde $\frac{1}{\sqrt {\varepsilon \mu}}$ es la velocidad de la onda. y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la distancia desde donde frenó hasta el medidor.

¿De donde sale la velocidad de la onda? de las ecuaciones de maxwell, ya hay un blog en este foro sobre esto.

[mrmgranada]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

Igualmente no es lo que preguntaba mrmgranada. Sino de donde sale el tiempo desde que se frenó la carga, el tiempo en que no medirías más campo magnético es

$\dst t= \left\vert{} \vec{r} \right\vert{} \sqrt {\varepsilon \mu}$

Entonces, podría concluirse que una carga que se frena emite una onda electromagnética cuya velocidad en el vacío es igual a la de la luz y que, al llegar esta onda al punto donde se realiza la medición, interacciona con el campo magnético ahí presente (que ha disminuido conforme se alejaba la carga) "eliminándolo". El tiempo que tarda en llegar la onda al punto donde se realiza la medición sería entonces el tiempo que tarda en desaparecer el campo magnético una vez que la carga se ha frenado. ¿Es correcto?

[Julián]

Re: disipación en el tiempo del campo magnético

Si el instrumento está en la posición $\vec{{r}_{0}}=<5,0,0>$ y suponiendo que la carga se mueve solamente en el eje X, de manera que su velocidad es $\vec{v}=<{v}_{x},0,0>$.Para valores negativos de x, la carga se va hacercando y por lo tanto disminuye la distancia con respecto al instrumento de medición y por lo tanto el valor del campo magnético es mayor. El campo magnético está dado por

$\dst \vec{ B}= \frac{\mu}{ 4 \pi} \frac{q {v}_{x}}{ {\left\vert{}\vec{v}t- \vec{{r}_{0}} \right\vert{}}^{2}}= \frac{\mu}{ 4 \pi} \frac{q {v}_{x}}{ {({v}_{x}t- 5)}^{2}}$

Ahora la carga cuando pasa de una posición a otra más cercana, el campo magnético será mas fuerte pero el valor del campo magnético más fuerte no llega instantáneamente sino que se toma un tiempo, que es la velocidad de la luz (c), así que le campo magnético queda:

$\dst \vec{ B}= \frac{\mu}{ 4 \pi} \frac{q {v}_{x}}{ {({v}_{x} (t- \frac{r}{c })- 5 )}^{2}}$

en donde $r={v}_{x}t-5$

Lo mismo para el campo eléctrico que es generado por esta variación del campo magnético. Cuando la carga pasa y se empieza a alejar el campo magnético disminuye pero lo mismo, si se alejó un poco, el campo magnético más pequeño se toma un tiempo en llegar al instrumento y este es la distancia entre la carga y el instrumento sobre c.

Entonces, podría concluirse que una carga que se frena emite una onda electromagnética cuya velocidad en el vacío es igual a la de la luz y que, al llegar esta onda al punto donde se realiza la medición, interacciona con el campo magnético ahí presente (que ha disminuido conforme se alejaba la carga) "eliminándolo"

Así que tienes siempre un solo valor del campo magnético en el instrumento pero ese valor medido no es el que genera la carga en ese momento porque la carga o se alejó o se acercó y generó un nuevo valor que está llegando (está "viajando") hacia el instrumento.
Justo cuando la carga empieza de desacelerar en el instrumento de medición todabía medira campo como si la carga se moviera a velocidad constante aunque la carga ahora genera un campo que es

$\dst \vec{ B}= \frac{\mu}{ 4 \pi} \frac{q ({v}_{x}-({a}_{x}(t-\frac{r}{c})))}{ {({v}_{x} (t-\frac{r}{c})-\frac{1}{2}{a}_{x} {(t- \frac{r}{c })}^{2}- 5 )}^{2}}$

en donde $\dst r= 5 + {v}_{x}t - \frac{1}{2} {a}_{x}{t}^{2}$

y luego del tiempo $\frac{r}{c }$ medirá el nuevo campo, el anterior y cuando ${v}_{x}-({a}_{x}t)=0$ no habrá campo y luego del tiempo $\frac{r}{c }$ no medirá campo magnético.