1r ciclo Rotacional del campo magnético

[Ramon4325]

Hola muy buenas. pues bien el campo magnetico de un hilo muy largo ES $B=\frac{\mu I}{2\pi r} a_{\phi}$, pero al hacer el rotacional de este campo en cilindricas obtenemos que el rotacional es nulo. COMO PUEDE SER ESTO??? es conservativo el capmo magnetico? ayuda por favor no entiendo nada

[javirk]

Re: Rotacional del campo magnético

Hola, el rotacional del campo magnético B, por la ley de Ampère es igual a $\mu_0J$ ($\vec{\nabla}\times \vec{B} = \mu_0\vec{J}$). Te digo esto para que veas que el campo magnético en general no es conservativo, solo lo es cuando $J = 0$.

Ahora a mí se me plantea la duda de por qué da cero si por el hilo sí circula corriente, a ver si alguien me lo puede explicar.

[visitante20160513]

Re: Rotacional del campo magnético

Depende de donde calcules el campo magnético. En general los campos eléctrico y magnético están relacionados con sus fuentes mediante las ecuaciones de Maxwell. Si asumes una disposición cualquiera y calculas el campo en un punto en la que no hay fuentes (por ejemplo el vacío) obtienes lo que tienes que obtener, es decir la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético son nulas. Hay que tener en cuenta que solo hablo de campos estáticos porque si son variables sus derivadas respecto del tiempo también intervienen en el asunto. Para deducir eso solo tienes que utilizar las ecuaciones de Maxwell, considerar campos estáticos, de forma que todas las derivadas temporales se anulen, y además que las densidades de carga y de corriente se anulen también, y obtienes lo que te digo:

$\mathbf{\nabla E=\nabla B=\nabla D=\nabla H=\nabla\times E=\nabla\times B=\nabla\times D=\nabla\times H=0}$

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: Rotacional del campo magnético

No dá cero.

$\dst \nabla \times \vec{B} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r (\frac{\mu I}{4 \pi r}) \hat {z}$

[visitante20160513]

Re: Rotacional del campo magnético

Sí debe dar cero si se calcula en un punto donde la densidad de corriente es nula. ¿Puedes mostrar tus cálculos?

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Según Maxwell debe cumplirse la siguiente ecuación:

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\times B=\mu_0\vec J+\epsilon_0\mu_0\displaystyle\frac{\partial E}{\partial t}}}$

y por ser un campo estático el segundo sumando del segundo miembro se anula directamente, y por estar calculado en un punto donde la densidad de corriente es nula el primer sumando del segundo miembre también se anula, luego:

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\times B=\mu_0\vec J+\epsilon_0\mu_0\displaystyle\frac{\partial E}{\partial t}}=0}$

NOTA1: Debe tenerse en cuenta que todos los vectores que intervienen en la ecuación deben medirse en el mismo instante y en el mismo punto.

NOTA2: Debes tener en cuenta, Julián, que la dirección del campo es perpendicular al plano que contiene al conductor y al punto considerado. Es decir:

$\xcancel{\mathbf B=\displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\mathbf{u_r}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\mathbf B=\displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\mathbf{u_\theta}\qquad\to\qquad\mathbf{\nabla B=\nabla\times B=0\qquad\qquad}$

Salu2, Jabato.

[javirk]

Re: Rotacional del campo magnético

Pero entonces, en la ley de Ampère puesta de forma integral se tiene en cuenta la intensidad encerrada dentro de la curva para hacer los cálculos, sin embargo puesta de forma diferencial se usa la densidad de corriente que hay en el punto donde se está calculando, ¿me equivoco? ¿Y esto por qué es así?

[visitante20160513]

Re: Rotacional del campo magnético

No, no te equivocas. El motivo imagino que está oculto (no se muestra de forma explícita), pero supongo que estará relacionado con el teorema de Stokes. Ambas formas de dicha ley son equivalentes, lo que quiere decir que de una se puede deducir la otra y vicebersa, pero no se bien explicarte el porqué, es sencillamente así. Quizás el motivo se encuentre en que la forma integral es válida para cualquier curva que rodee a la corriente y eso es lo que permite convertir esa forma integral en otra formulación local. Ocurre algo parecido con otras magnitudes electromagnéticas, por ejemplo el campo eléctrico y el teorema de Gauss, etc.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: Rotacional del campo magnético

En realidad la forma diferencial es una relación entre los campos, es decir, una simplificación. El teorema de stokes relaciona una integral de linea cerrada, en este caso la circulación del campo B alrededor de cualquier trayectoria cerrada (qe por simplificaciones se toma un circunferencia) con una integral de superficie, en este caso la integral de superfice la cual es limitada por la trayectoria anterior.

$\dst {\oint}_{\partial S} \vec{B} . d\vec{l} = \mu {\int \int }_{S} \vec{J} . d \vec{S}$

En donde $\partial S$ es la trayectoria que delimita a la superficie $S$.

Ahora si tienes un campo por ejemplo uno T, y necesitas calcular su integral de linea ¿cómo sabes cual vector es el que tienes que integrar en la superficie? Pues facil, debes realizar el pseudo determinante $\nabla \times \vec{T}$

De manera que genericamente se expresa:

$\dst {\oint}_{\partial S} \vec{T} . d\vec{l} = \mu {\int \int }_{S} (\nabla \times \vec{T}) . d \vec{S}$


Otra cosa, $J$ es corriente por unidad de superficie así que integrando los valores de J en una superficie cualquiera veremos la corriente total.

$\dst {\oint}_{\partial S} \vec{B} . d\vec{l} = \mu I$

[Ramon4325]

Re: Rotacional del campo magnético

En resumen, obtenemos que el rotacional es cero porque en la zona donde lo evaluamos no hay ninguna densidad de corriente, lo que tiene todo el sentido el sentido del mundo. Jabato, acabas de salvar la física

[visitante20160513]

Re: Rotacional del campo magnético

¡Ah! Pues menos mal. Ya pensé que nos hundíamos en la miseria.

Salu2, Jabato.