Otras carreras condensador cilíndrico y Laplace

[el_gabi]

Buenas, tengo un condensador cilíndrico (según la figura) con un dieléctrico ocupando parcialmente el espacio entre las placas. Tengo que calcular la capacidad por unidad de longitud.
Se por condiciones de borde que el campo eléctrico en la zona del dieléctrico es igual que en la zona de vacío. Con poco rigor científico pude tomar una superficie gaussiana y hacer algunos cálculos hasta llegar al resultado correcto.
Sin embargo eh querido resolverlo con un poco mas de formalidad, eh querido tomar el laplaciano del potencial y hacer cálculos pero no logro llegar a nada, no pongo los resultados obtenidos porque realmente estoy empezando a trabajar con este tema y no termino de entender del todo como trabajar. Espero me puedan explicar como resolverlo por este medio.
Saludos y muchas gracias por su ayuda!!

[Castelao]

Re: condensador cilíndrico y Laplace

Así por encima una condición que te pueden ayudar es tomar el potencial como dependiente unicamente de las coordenadas $\rho$ y $\phi$, es decir, $V=V(\rho, \phi)$. Se puede suponer que $L>>\rho$, donde $L$ es la longitud del cilindro y $\rho$ el radio (por lo que obviamos $z$). En cuanto el dieléctrico, busca condiciones de continuidad.

[el_gabi]

Re: condensador cilíndrico y Laplace

ok, planteo el laplaciano pero no logro darme cuenta como poder calcular el potencial a pesar de deshacerme de la variable z.

[Castelao]

Re: condensador cilíndrico y Laplace

Debo recapitular, mis disculpas.

Ocurre que $\vec{E}=E(\rho) \hat{\rho}$. Qué $\vec{E}$ es radial se obtiene de usar el vector desplazamiento eléctrico $\vec{D}$, suponiendo que el dieléctrico es lineal, homogéneo e isótropo, y si es radial, aplicando que es conservativo ($\nabla \times \vec{E}=0$) se demuestra que $\vec{E}$ no depende ni de $\phi$ ni de $z$. (Es lo mismo que aplicar las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales).

De aquí que si $\vec{E}$ sólo depende de $\rho$, el potencial también lo haga. Me explico: $\vec{E}=E\hat{\rho}=(E,0,0)=(\frac{\partial V}{\partial \rho},0,0)$. Cómo, en general, $\vec{E}=(\frac{\partial V}{\partial \rho},\frac{1 }{ \rho} \frac{\partial V}{\partial \phi}, \frac{\partial V}{\partial z})$, si $\frac{1 }{ \rho} \frac{\partial V}{\partial \phi}=0$ esto significa que $V\neq V(\phi)$, y lo mismo para $z$, al ser $\rho$, $\phi$ y $z$ independientes.

Por tanto el potencial es sólo dependiente de la coordenada $\rho$ en todo el condensador, lo que hace la ecuación de Laplace sencilla de resolver.

¿Podrías explicar más o menos cómo operaste para llegar a la solución correcta?

[el_gabi]

Re: condensador cilíndrico y Laplace

Lo pude resolver con tu ayuda muchas gracias!!