1r ciclo Cable coaxial con distribución de corriente no uniforme

[sater]

Buenas, de un examen de un año anterior tengo el siguiente enunciado:

La verdad que es el primero que hago de este tipo (tengo electro demasiado dejada) y tengo dudas.

Claramente fuera del cilindro por la ley de Ampere la corriente encerrada es nula luego el campo también.

En la región intermedia la corriente encerrada es I, luego el campo es $\dst B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ con $\dst I=\int_S \vec J(\vec r)\cdot d\vec S=\ldots=J_0 2\pi[a-1+e^{-a}]$.

Ahora para la región interior $r\le a$ tengo serias dudas. Empecé queriendo calcular el potencial vectorial, y más tarde el vector $\vec B$ directamente, pero la integración (creo) que se complica demasiado.

Finalmente me he planteado hacerlo por la ley de Ampere también como sigue:

El campo $B(r)$ será (tras aplicar argumentos de simetría):
$\dst B(r)2\pi r=\mu_0 I_{enc}=\mu_0 \int_0^r\int_0^{2\pi} J(r) r dr d\theta\longrightarrow \vec B(r)=\dfrac{\mu_0 J_0}{r}[r e^{r-a}-e^{r-a}+1]\hat{\phi}$

Pero no sé si este procedimiento es correcto (o si lo es, si se podría dar por válido desde un punto de vista más formal).

Otra duda que me corroe es que el argumento de la exponencial en $\vec J$ no es adimensional, ¿importa esto?

Gracias de antemano.

[angel relativamente]

Re: Cable coaxial con distribución de corriente no uniforme

Pero no sé si este procedimiento es correcto (o si lo es, si se podría dar por válido desde un punto de vista más formal).

Otra duda que me corroe es que el argumento de la exponencial no es adimensional, ¿importa esto?

No he comprobado la integral pero yo lo veo muy formal y correcto, la ley de Àmpere la aplicas sin problema porque tienes el paralelismo de los diferenciales de longitud del circuito con el campo y la intensidad interior la calculas correctamente y no hay más vuelta que darle, ¿no?

Con respecto a la exponencial supongo que es sutil, pero siempre puedes imaginar un -1/cm que multiplica delante del paréntesis

[visitante20160513]

Re: Cable coaxial con distribución de corriente no uniforme

El problema con las dimensiones del exponente es que si no usas las mismas unidades que te da el enunciado entonces la solución puede variar, ello te obliga a utilizarlas, ese tipo de planteamientos es frecuente cuando se utilizan fórmulas empíricas no homogéneas en las que aparecen constantes, pero en el el enunciado de un problema no parece muy lógico que eso sea así. Por lo demás el planteamiento y la solución del problema me parece correcto. Como comprobación de las soluciones que has obtenido, sobre todo en la región interior, puedes utilizar una de las ecuaciones de Maxwell (la ley de Ampere generalizada) que dice:

$\mathbf{\nabla\times H=J+\displaystyle\frac{\partial D}{\partial t}}$

que en este caso se aplica fácilmente debido a que los campos son estáticos y además no hay cargas eléctricas ni libres ni inducidas ni materiales ferromagnéticos. Al aplicarlo al caso que nos ocupa se simplifica de forma que deben cumplirse las:

$\mathbf{\nabla\times H=J}\qquad\to\qquad\mathbf{\nabla\times B=\mu_0 J}$

con lo que solo debes obtener el rotacional del campo obtenido y comprobar que es igual a la densidad de corriente. Sencillito ¿no?

Salu2, Jabato.

[sater]

Re: Cable coaxial con distribución de corriente no uniforme

Gracias a ambos, he repasado el problema y calculado el rotacional en cilíndricas y me coincide. Gracias de nuevo