1r ciclo Campo de esfera a partir de campo en un disco

[sater]

Buenas, tengo el siguiente problemín:


El campo creado por el disco queda:

$\vec E(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}z\left[\dfrac{1}{|z|}-\dfrac{1}{\sqrt{z^2+d^2}}\right]\hat{k}$ siendo $d$ el radio del disco.

Una vez tengo esto, me imagino el paso a la esfera como una sucesión de de discos superpuestos en el que el radio de cada uno decrece mientras la altura crece (si nos fijamos en la semiesfera superior) pero no sé plasmar esto en una relación diferencial (lo que he intentado al final no me ha resultado el campo de la esfera luego debo estar inventándomelo).
Gracias por cualquier ayuda, un saludo

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Buenas de nuevo, ¿Alguien podría echar una manita? me he hecho ya todos los exámenes de años anteriores de esta asignatura y este es el último que me falta y se me escapa...

[Al2000]

Re: Campo de esfera a partir de campo en un disco

No tengo una gráfica apropiada a la mano, de manera que trataré de describirte la situación lo mejor que pueda. Considera la esfera centrada en el origen y que la cortas en rebanadas perpendiculares al eje Z. Digamos que estás calculando el campo que produce la esfera en la posición $R \leqslant z < \infty$ y que estás analizando la rebanada que se encuentra en la coordenada $0 \leqslant z' \leqslant R$ y que tiene grosor $d(z')$. La $z$ que aparece en la fórmula del campo del disco pasará a ser $z - z'$, que es la distancia entre la rebanada y el punto donde calculas el campo; el radio $d$ del disco será (obtenido por Pitágoras) $\dst \sqrt {a^2 - (z')^2}$ y la densidad de carga debes reemplazarla por $\rho \, d(z')$.

Pon todo junto y cocina a fuego lento. Déjalo reposar y degústalo acompañado de una copita de vino.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[sater]

Re: Campo de esfera a partir de campo en un disco

Probaré a ver que tal sabe, un gran saludo Al.

[Al2000]

Re: Campo de esfera a partir de campo en un disco

Nota mi error en el dominio de $z'$, que debe abarcar desde $-a$ hasta $a$...

[sater]

Re: Campo de esfera a partir de campo en un disco

No consigo llegar mediante la integral que se queda a la expresión del campo de una esfera (que como considero z>R debería ser el de una carga puntual). Finalmente tras mucho simplificar me queda $E=\dfrac{Q}{6\pi\varepsilon_o R^2}\left[2R-\dfrac{4}{3}z\right]$ lo cual no puede estar bien. Quizá no estoy cayendo en algo.

[Al2000]

Re: Campo de esfera a partir de campo en un disco

Es obvio que en alguna parte cometiste un error, pues tu resultado no es dimensionalmente consistente. Tendrías que poner lo que hiciste para buscar el error... te comento que hice las sustituciones que te indiqué anteriormente y le di la integral al computador y desúés de manipular un poco el resultado crudo llegué a la respuesta correcta.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[sater]

Re: Campo de esfera a partir de campo en un disco

Si a mi con Maxima también me salió, osea que debo de estar "metiendo la gamba" en alguna parte, pero lo importante es que ya sé cómo proceder. Muchísimas gracias Al!