1r ciclo Capacitor esférico.

[Felpudio]

Hola, que tal. He tenido dudas sobre como resolver este problema.

La diferencia de potencial, $\Delta\phi$, entre las placas de un capacitor esférico se mantiene constante. Demostrar que el campo eléctrico en la superficie de la esfera interior tendrá un valor mínimo si a=b/2. Encontrar el valor mínimo de E.

Tengo problemas encontrando la función de E.

Gracias.

[frunciopilato]

Re: Capacitor esférico.

Primero aplicas la ley de Gauss en dieléctricos y hallas la expresión del campo eléctrico en el interior, que saldrá que es:

$\vec{E(\vec{R})}=\frac{Q}{4pi\varepsilon R^3}\vec{R}$ (1)

Después tienes que hallar otra expresión, la de la capacidad de un condensador esférico, y para ello tienes que calcular previamente el potencial entre ambas placas, y el potencial sale:

$V=\frac{Q}{4pi\varepsilon}\frac{b-a}{ab }$ (2) donde $\varepsilon$ es la permitividad del medio

Cuando calcules el potencial, hallas la capacidad del condensador, que es:

$C=\frac{Q}{V }=\frac{Q}{\frac{Q}{4pi\varepsilon}\frac{b-a}{ab } }=4pi\varepsilon\frac{ab}{b-a}$ (3)

Si de la expresión (3), la de la capacidad, despejas la carga, obtienes:

$Q=4pi\varepsilon\frac{ab}{b-a }V$ (4)

Ahora, por la expresión (1) consideramos la norma del campo y sustituimos (4) sobre ella.

$E=\frac{4pi\varepsilon\frac{ab}{b-a }V}{4pi\varepsilon R^2 }$;

$E=\frac{\frac{ab}{b-a }V}{R^2 }$;

Nos centramos sólo en el campo de la superficie de la cara externa del conductor interno (R=a)

$E=\frac{\frac{ab}{b-a }V}{a^2 }$;

$E=\frac{\frac{b}{b-a }V}{a }$;

Derivamos e igualamos a 0 para hallar el mínimo del campo en función de "a".

$E'=(\frac{-[1(b-a)+a(-1)]}{(b-a)^2a })V=0$; ó V=0, Cosa que no se verifica, o lo otro es 0

$-b+a+a=0$

$a=\frac{b}{2 }$