1r ciclo Inducción magnética B de un disco.

[frunciopilato]

¿Existe alguna forma de calcular la inducción magnética (en todo punto de su eje central, claramente), $\vec{B}$, de un disco con densidad superficial $\sigma$ sin necesitad de recurrir a la inducción magnética de un anillo? El disco está cargado y gira con una velocidad $\vec{v}$. No se si sería adecuado usar la ley de Biot y Savart generalizada en este tipo de situaciones, pues no tengo volumen, sino superficie, y creo que sería una aberración cambiar el diferencial de volumen por un diferencial de superficie, así, por la cara. Luego, en primer lugar: ¿es posible calcularlo sin echar mano a la inducción de un anillo? y, si es posible, ¿cómo?

[arivasm]

Re: Inducción magnética B de un disco.

Entiendo sí se puede, pero reemplazando, además del elemento de volumen por el de superficie, el vector densidad de corriente $\vec J=\rho\vec v$ por la densidad superficial de corriente $\vec K=\sigma\vec v$.

[frunciopilato]

Re: Inducción magnética B de un disco.

¿Entonces la densidad superficial de corriente es igual a la densidad superficial de portadores por la velocidad, siendo la densidad superficial de portadores constante?

Bien, si utilizo lo que me has comentado obtengo lo siguiente:

$\vec{B(\vec{R})}=\frac{\mu\sigma\omega}{ 2}[\frac{1}{z }-\frac{1}{\sqrt{z^2+a^2} }]$

Donde $\sigma$ es la densidad superficial de portadores, ''z'' la posición sobre el eje z, y ''a'' el radio del disco.

Por otro lado si utilizo la inducción magnética de la espira:

$\vec{B(\vec{R})}=\frac{\mu\omega\rho}{2 }[\frac{a^2+2z^2}{\sqrt{a^2+z^2}}-2z]$

Donde $\rho$ es la densidad superficial del disco, ''z'' y ''a'' siguen siendo posición y radio respectivamente.

Es decir, ¿ambas expresiones son iguales pero una en función de la densidad de portadores y otra en función de la densidad superficial del disco?

[arivasm]

Re: Inducción magnética B de un disco.

Por supuesto ambos resultados deberían ser el mismo. El que sean diferentes indica que algo está mal hecho. Haré el cálculo por mi cuenta y te diré qué obtengo.

De todos modos, hay algo extraño en el enunciado: dices que

El disco está cargado y gira con una velocidad $\vec{v}$

¿No debería ser "El disco está cargado y gira con una velocidad angular $\omega$?

¿O acaso se trata de un disco que se mueve (quizá según la dirección de su eje) con velocidad $v$?

[frunciopilato]

Re: Inducción magnética B de un disco.

¿No debería ser "El disco está cargado y gira con una velocidad angular $\omega$?

Perdón, redacté mal, la velocidad del disco es angular $\omega$.

Haré el cálculo por mi cuenta y te diré qué obtengo.

Gracias!

[arivasm]

Re: Inducción magnética B de un disco.

He mirado el ejercicio suponiendo que se trata de un giro de velocidad angular $\omega$ alrededor del eje del disco.

En realidad ambos procedimientos que citas son exactamente el mismo: si usas (y es el enfoque más cómodo) coordenadas polares, $r$ y $\theta$, al hacer la integral respecto de $\theta$ lo que tienes es el campo que origina una espira infinitesimal de radio $r$. La siguiente integración, respecto de $r$ es común a ambos procedimientos.



Edito: El elemento de campo que aparece a continuación es incorrecto y entonces también el campo.

Para el elemento de campo que origina dicha espira (o si lo prefieres, el que resulta tras hacer la integración respecto de $\theta$) yo encuentro $\dst \dd B=\frac{\mu_0}{2}\frac{r}{r^2+z^2}\dd I$, donde la intensidad infinitesimal es $\dd I=\sigma r\omega\dd r$.

Al hacer la integración entre $r=0$ y $r=R$ finalmente encuentro algo bien diferente de lo tuyo: $\dst B=\frac{1}{2}\mu_0\sigma\omega\left(R-z\,{\rm arctg}\frac{R}{z}\right)$.

Por supuesto, si no me he equivocado, algo que cada vez me sucede más, sobre todo si, como en este caso, intento hacer las cosas lo más rápidamente que puedo (no por ti, sino por obligaciones que me están esperando).

Saludos

[frunciopilato]

Re: Inducción magnética B de un disco.

En uno de mis comentarios indico el resultado que había obtenido empleando la inducción de la espira, yo partí, en cilíndricas, de un diferencial de inducción de campo $dB=\frac{\mu \rho^2dI}{2(z^2+\rho^2)^3/2 }$ y de un $dI=\frac{\rho d\varphi d\rho (\rho s) \omega}{ 2pi}$, el diferencial $dI$ sí nos coincide. ($\rho s$ es la densidad superficial)
He estado mirándolo todo y he vuelto a hacer los cálculos con $\omega$ y ahora sí me coinciden los resultados, por último

Por supuesto, si no me he equivocado, algo que cada vez me sucede más, sobre todo si, como en este caso, intento hacer las cosas lo más rápidamente que puedo (no por ti, sino por obligaciones que me están esperando).

Gracias por responder!

[arivasm]

Re: Inducción magnética B de un disco.

Sí, tienes razón. Mi elemento de campo magnético estaba mal (olvidé, cual novato, manejar la componente z del campo!). El correcto es el que pones tú: $\dst \dd B=\frac{\mu_0}{2}\,\frac{r^2}{(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}\dd I$. También debo añadir que lo correcto no es decir "coordenadas polares", como escribí yo, sino cilíndricas, como bien has puesto tú.

Por tanto, cambiando el símbolo para el radio del círculo de $R$ a $a$, el campo buscado será $\dst B= \frac{\mu_0}{2}\sigma\omega\int_0^a \frac{r^3}{(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}\dd r$ con lo que finalmente resulta (esta vez recurro al software para evitar cometer más errores!) $\dst B = \frac{1}{6}\mu_0\sigma\omega\left[\frac{a^2+2z^2}{\sqrt{a^2+z^2}}-2z \right]$

A ver si esta vez está mejor!

[Al2000]

Re: Inducción magnética B de un disco.

¡Hola, Antonio!

...el campo buscado será $\dst B= \frac{\mu_0}{2}\sigma\omega\int_0^a \frac{r^3}{(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}\dd r$ con lo que finalmente resulta (esta vez recurro al software para evitar cometer más errores!) $\dst B = \frac{1}{6}\mu_0\sigma\omega\left[\frac{a^2+2z^2}{\sqrt{a^2+z^2}}-2z \right]$

A ver si esta vez está mejor!

Mejor sí, perfecta no Donde pones 1/6 debería ser 1/2 y, si se toma $z$ como una coordenada, debería escribirse $2|z|$ en lugar de $2z$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: Inducción magnética B de un disco.

Gracias Al!

Siempre es bueno saber que un buen compañero como tú está pendiente de los errores (que cada vez cometo con más frecuencia -aunque últimamente tengo razones para andar despistado, pero ésa es otra cuestión...-).

Sí, tienes toda la razón: $\dst B = \frac{1}{2}\mu_0\sigma\omega\left[\frac{a^2+2z^2}{\sqrt{a^2+z^2}}-2|z| \right]$

¿De dónde rayos habré sacado el 3...?