Divulgación Densidad de corriente y ecuación de continuidad

[alexpglez]

Hola, tenía esta duda básica de cómo se llega de definir:

$$\frac{d q}{d t}=I=\iint_{S} \vec J \cdot d \vec S$$

A:

$$\vec J=p \vec v$$

Y a la ecuación:

$$\frac{d p}{d t}+\vec \nabla \cdot \vec J=0$$

Si intento llegar a lo primero me queda un signo menos:

$$\frac{d q}{d t}=\oiint_{S} \vec J \cdot d \vec S=\iiint_{V} \vec \nabla \cdot \vec J d V$$

$$\frac{d \iiint_V p dV}{d t}-\iiint_{V} \vec \nabla \cdot \vec J d V=0$$

$$\frac{d p}{d t}-\vec \nabla \cdot \vec J=0$$

También he visto la misma definición arriba pero con un signo menos en vez de más...

Y el vector $\vec J= p \vec v$ lo veo intuitivamente pero.. hay demostración matemática¿?

Un saludo, gracias.

[arivasm]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

Si no me equivoco la cosa es al revés: se define la densidad de corriente como $\vec J=\rho\vec v$. Su flujo es, por definición, la intensidad de la corriente, $I=\int \vec J\cdot\dd\vec S$.

Al llevar a esta última expresión la ecuación de continuidad, que simplemente expresa la conservación de la carga, resulta la famosa $\dst I=\frac{\dd Q}{\dd t}$.

Lo que sucede es que en secundaria, por razones obvias, no queda otra que empezar por el final, y expresar como definición lo que en realidad es una conclusión.

- - - Actualizado - - -

Se me olvidaba: la demostración exige de tomar en consideración que la dQ es la carga transportada a través del elemento de superficie. Eso significa que al considerar un elemento de corriente, constituido por un volumen infinitesimal de sección el elemento de superficie en cuestión y que contiene dQ, el tiempo dt es el necesario para que dicha carga salga del mismo (aunque obviamente es igual a la que entra si no hay acumulación o disminución de carga en el elemento). De ahí el signo menos.

[Julián]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

Si intento llegar a lo primero me queda un signo menos:

$\dst {\int}_{V} (\nabla. \vec{J}) d V =- {\int}_{V} \frac{ d \rho}{d t} dV$


$\dst {\int}_{V} (\nabla. \vec{J}) d V =- \frac{d q}{d t}$

$\dst {\int}_{V} (\nabla. \vec{J}) d V =- {\int}_{S} \vec{J} . d \vec{S}$

$\dst {\int}_{V} (\nabla. \vec{J}) d V + {\int}_{S} \vec{J} . d \vec{S}=0$ (*)

$\dst {\int}_{V} (\nabla. \vec{J}) d V + I=0$

$\dst {\int}_{V} (\nabla. \vec{J}) d V + \frac{\partial q }{\partial t}=0$

Por el teorema de gauss:

$\dst \nabla . \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

Ya en (*) está explícito el teorema de gauss.

[alexpglez]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

A ver si me queda claro.. Una intensidad significa la que entra y otra la que sale, de ahí que la suma sea 0 y aparezca la ecuación de continuidad.

Si no me equivoco la cosa es al revés: se define la densidad de corriente como . Su flujo es, por definición, la intensidad de la corriente, .

Al llevar a esta última expresión la ecuación de continuidad, que simplemente expresa la conservación de la carga, resulta la famosa .

Entonces habría que plantear la ecuación:

$$\frac{ dI }{d V} + \nabla \cdot \vec J=0$$

Y ésta como se podría resolver¿?, he andado buscando por internet y no he encontrado.. En el piskunov cuando hablaba de la ecuación de laplace, planteaba algunos problemas relacionados con la ecuación de continuidad pero donde la densidad de corriente venía dado por el gradiente de otra función..
Si lo manejo matemáticamente el flujo de la densidad de corriente me quedaría:

$$I=\iint \vec J \cdot d \vec S=\iint p \frac{d \vec r}{dt} \cdot d \vec S=\iint \frac{d \int p d\vec r}{dt} \cdot d \vec S=\frac{d \iint \int p d\vec r \cdot d \vec S}{dt}=\frac{d \iiint p dV}{dt}=\frac{d Q}{dt}$$

Por lo que por esto también llego a la fórmula de la corriente.
Sería así¿?
Un saludo, gracias

[Julián]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

Lo siguiente es incorrecto:

No entendí tu comentario anterior. La densidad de corriente expresa la cantidad de carga que atraviesa en una unidad de tiempo una unidad de superficie. Y la corriente es la cantidad de carga que varía en unidad de tiempo.

$\dst \vec{J} [\frac{C}{{m}^{2}}]= \rho [\frac{C}{{m}^{3}}] \vec{v} [\frac{m}{s}]$

En donde $\rho$ es la densidad de carga volumétrica.

Es decir, si tienes un alambre de una sección $5 [{mm}^{2}]$ y la densidad de corriente es en módulo $25 [C/{mm}^{2}]$. Entonces la corriente total será:

$25 [C/{mm}^{2}]*5 [{mm}^{2}]= 125 [C]$.

O la inversa, tienes un circuito en donde en serie colocas varios alambres de diferente sección. Si mides con un amperimetro cada pto de los diferentes alambres, observarás la misma corriente I, pero como tienen diferentes secciones, el de menor sección tiene una densidad de corriente mayor que el de mayor sección. Es decir, suponiendo que los alambres sean del mismo material y por lo tanto tienen la misma conductividad. El campo eléctrico en el interior del alambre de menor sección será mayor cuando circule una corriente y por lo tanto habrá una mayor caida de tensión en este alambre que en los demás.

$\vec{J} = \sigma \vec{E}$

Es por esto que la resistencia de los alambres aumenta cuanto menor sean sus secciones.

$\vec{J} = \sigma \vec{E} \Rightarrow \frac{I}{S } = \sigma \frac{V}{d }$

$I = \frac{\sigma S}{d} V$

$\frac{\sigma S}{d} = C = 1 / R$

$I = (1/R) V$ (ley de ohm)

Puedes ver en mi comentario anterior como llego a la ecuación diferencial de continuidad. Esto implica que si hay en un volumen un flujo de corriente saliente entonces la carga (que en el volumen está dado por una densidad de carga volumétrica) está disminuyendo. Y si la corriente es entrante la densidad volumétrica está aumentando. Si la misma cantidad de corriente es la que entra y la que sale entonces la densidad de corriente no varía.
Por ejemplo si tomamos una placa de un capacitor y la encerramos en una esfera gausiana, cuando se le aplique una tensión al capacitor este se va a ir cargando, por lo tanto empezará a aparecer una densidad de carga en la placa del capacitor, la cual variará siempre que halla una corriente. Cuando sesa la corriente, es decir, el capacitor está cargado, no habrá variación en la densidad de carga.

[alexpglez]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

Te faltó que es C m^2 s^-1 no¿? y por qué es incorrecto lo anterior que escribí¿? puesto que la intensidad / volumen es la derivada de la densidad con respecto al tiempo.

[Julián]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

$\dst \nabla. \vec{J} = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{1}{\Delta V} {\oint}_{S} \vec{J} .d \vec{S} = \frac{1}{d V} {\oint}_{S} \vec{J}. d \vec{S}$

$\dst \nabla. \vec{J} = \frac{I}{d V} = \frac{1}{d V} \frac{d q}{ dt}$

$\dst \nabla. \vec{J} = \frac{d \rho}{dt}$

El signo no es otra cosa que por definición. Debido a que, es una ley encontrada experimentalmente. Es por esto que se define en las ecuaciones de maxwell y a partir de esta se deriva el concepto de corriente. Debido a que es:

$\dst {\oint}_{s} \vec{J}. d \vec{S} = - \frac{ \partial }{\partial t} {\int}_{V} \rho d V$

Que siguiendo el teormea de la divergencia:

$\dst {\oint}_{s} \vec{J}. d \vec{S} = {\int}_{V} (\nabla . \vec{J}) d V$

Por ende:

${\int}_{V} (\nabla . \vec{J}) d V = - \frac{ \partial }{\partial t} {\int}_{V} \rho d V$

y usando la notación diferencial:

$\dst \nabla . \vec{J} = - \frac{ \partial \rho}{\partial t}$

Te faltó que es C m^2 s^-1

Si

[arivasm]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

Estos días tengo algunos problemas personales que me impiden seguir el foro como anteriormente. Es por eso que no estoy atendiendo a los hilos como de costumbre.

En un vistazo rápido he visto un par de cosas con las que no concuerdo. La primera es que la densidad de corriente no se expresa en C/m², sino en C/(m²s). Por tanto, su flujo no se expresa en C, sino en C/s = A. Quizá sea un despiste de Julián, pues justo antes dice algo correcto:

La densidad de corriente expresa la cantidad de carga que atraviesa en una unidad de tiempo una unidad de superficie

Sobre la ecuación de continuidad no sé muy bien si estar de acuerdo o no con que se trata de una ley experimental. Tan sólo insistir en que cualquier magnitud que satisfaga que $\dst\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\vec J=0$, donde $\vec J=\rho\vec v$ y $\rho$ es la densidad volumétrica de dicha magnitud, y $\vec v$ la velocidad de los portadores de la misma, expresa la conservación de que la magnitud en cuestión permanece constante, es decir, no se crea ni se destruye en todo elemento de volumen.

Para verlo podemos escribir explícitamente la ecuación de continuidad como $\dst\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\dd x}{\dd t}+\frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{\dd y}{\dd t}+\frac{\partial\rho}{\partial z}\frac{\dd z}{\dd t} =0$. Si multiplicamos todo por $\dd t$ tenemos que $\dst\frac{\partial\rho}{\partial t}\dd t+\frac{\partial\rho}{\partial x}\dd x+\frac{\partial\rho}{\partial y}\dd y+\frac{\partial\rho}{\partial z}\dd z =0$, es decir $\dd \rho=0$.

He escrito todo esto un tanto apresuradamente y estaría bien algo más de explicación, pero ahora no tengo tiempo para más.

[alexpglez]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

Creo que ya veo, la densidad es constante, eso implica que si fuese por ejemplo dependiente del tiempo necesariamente tendría que ser dependiente del espacio, y viceversa, no¿?

[Julián]

Re: Densidad de corriente y ecuación de continuidad

Me ha pasado muchas veces que al escribir un post por ahi me equivoco aunque anteriormente no me había equivocado, me pasa porque los escribo a la mitad mientras hago otra cosa.

Sobre la ecuación de continuidad no sé muy bien si estar de acuerdo o no con que se trata de una ley experimental

Todas las ecuaciones de Maxwell fueron desarrolladas experimentalmente, salvo el término que maxwell agregó a la ley de ampere, es decir, la densidad de corriente de desplazamiento. La cual era necesaria para la existencia de las ondas EM y luego unos años después Hertz la corroboró experimentalmente.
A lo que me refiero es que tanto ampere, como faraday desarrollaron sus ecuaciones en base a experimentaciones y observaciones.
La ley de continuidad se observa desde el primer día en que trabajas con circuitos eléctricos, es decir, en un conductor la corriente que entra es la misma que sale. Y por ejemplo en las placas de un capacitor donde al establecerse una densidad de corriente de desplazamiento en su dieléctrico, hay un aumento en la densidad de carga volumétrica, que luego, dicha carga o vuelve al circuito, o el capacitor al tener fuga, dicha carga disminuye por una densidad de corriente de conducción en su dieléctrico dañado. Pero nunca se ha observado que desaparezca una carga.

Es decir, ante la ley de conservación de la carga y ante la definición de la densidad de corriente de conducción $\vec{J} = \rho \vec{v}$, solamente hay una expresión matemática que relaciona esta ley de conservación con la definición de densidad de corriente:

$\dst \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla . \vec{J} = 0$

Porque si atenemos solamente a una definición matemática:

$\dst \nabla. \vec{J} = \frac{1}{dV} {\oint}_{s} \vec{J} . d \vec{S}$

Lo anterior es la definición formal de divergencia y el segundo término, la integral es la corriente:

$\dst \nabla. \vec{J} = \frac{1}{dV} I = \frac{1}{dV} \frac{dq}{dt} = \frac{d \rho}{dt}$

Y lo anterior no corresponde con lo visto en la práctica.

La radiación alfa y beta provenientes del sol constituyen una densidad de corriente de conducción. Como es en el vació no necesitan un campo eléctrico para mantener la densidad de corriente constante ya que no hay una fuerza que se opone (como en una resistencia). Si se produce una desintegración beta. La carga se conserva, pero la velocidad de las mismas no (estoy seguro). ¿se violaría la ley de continuidad? Pues no, ya que esta hace referencia a la conservación de la carga y no a la de la densidad de corriente.