Otras carreras Trabajo cuando el Campo no es constante

[Nachoooou]

Hola!, quisiera pedir ayuda ya que he estado rompiendome la cabeza con el siguiente problema un día entero

Dice así : Dada la siguiente función potencial eléctrico en el S.I.:$V=(2x+3xy-\frac{{x}^{2}}{z}+11)$

Debo pillar el trabajo para mover una carga Q1= 7nC desde el punto (2,1,1) hasta B(1,3,1)

Yo lo intenté de esta forma: $\vec{E}=- \vec{\nabla}V$

Por definición , derivo V respecto a x,y,z, obtuve que el campo me daba:

$\vec{E}= (-2-3y+2x/z)\hat{\imath} + (-3x)\hat{\jmath} + (-\frac{{x}^{2 }}{{z}^{2}})\hat{k}$ (N/C)

Y viendo por libros, ejercicios "parecidos" se resolvían de la siguiente forma:

Debido a la ecuación: $W a\to b =q \int _{a}^{b}{ \vec{E} \cdot d\vec{l}}$

Quisiera saber si con esto, lo que tengo que hacer queda asi, como la suma del trabajo por los movimientos en cada eje : $W a\to b =q \int _{xi}^{xf}{ \vec{E} \cdot \hat{\imath} dx}$ + $q \int _{yi}^{yf}{ \vec{E} \cdot \hat{\jmath} dy}$

Refiriéndome a Xi como el punto "X inicial" y Xf como el punto "X final" , exactamente lo mismo con Yi e Yf, en este caso da lo mismo la integral con respecto a Z debido a que no se desplaza en ese eje (supongo).

Mi problema es que cuando integro el $\vec{E}= (-2-3y+2x/z)\hat{\imath} + (-3x)\hat{\jmath} + (-\frac{{x}^{2 }}{{z}^{2}})\hat{k}$ (N/C) respecto a X e Y (en z, no por que creo que es innecesario) me siguen quedando valores en función de X,Y,Z y no puedo obtener el trabajo como un valor escalar

Muchas gracias de antemano Saludos

[Al2000]

Re: Trabajo cuando el Campo no es constante

Una pregunta, ¿tienes que resolver el problema calculando la integral de línea? ¿no podrías simplemente calcular el $\Delta V$?

[Nachoooou]

Re: Trabajo cuando el Campo no es constante

Uhh que imbécil lo tenía ahí al frente, y yo sacando la masa del universo jaja. Muchas gracias !

[Al2000]

Re: Trabajo cuando el Campo no es constante

Chévere... de todas formas te comento que el intento de resolver la integral de línea que planteas no es correcto y además no te quedarían funciones de las otras variables pues cuando integras en una coordenada las otras coordenadas quedan fijadas a un valor constante. Una posibilidad sería integrar a lo largo de un par de segmentos rectilíneos que sigan la secuencia (2,1,1) --> (1,1,1) --> (1,3,1). En el primer segmento variaría solamente $x$ y en el segundo segmento variaría $y$:

$$\int \vec E_{(x,y,z)} \cdot d \vec \ell = \int_{2}^{1}\!\! E_{(x,1,1)} \, dx + \int_{1}^{3}\!\! E_{(1,y,1)}\, dy$$

Es posible resolver una sola integral tomando un segmento rectilíneo que vaya directamente desde (2,1,1) hasta (1,3,1). Una posibilidad sería parametrizar el segmento de la siguiente manera:

$$0 \leqslant t \leqslant 1$$

$$x = 2 - t \quad \Rightarrow \quad dx = -dt$$

$$y = 1 + 2 t \quad \Rightarrow \quad dy = 2 dt$$

$$z = 1 \quad \Rightarrow \quad dz = 0$$

y evaluar la integral como

$$\int \vec E_{(x,y,z)} \cdot d \vec \ell = \int_{0}^{1}\!\! \vec E_{(2-t,1+2 t,1)} \cdot (- \hat \imath + 2 \hat \jmath) \,dt$$

Ambas formas deberían dar el mismo resultado, salvo error de mi parte.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Nachoooou]

Re: Trabajo cuando el Campo no es constante

La integral que propuse, saqué la idea de un problema del libro "Física Universitaria" de Sears, adjunto las imágenes, del problema (en cierta forma parecidos) y la solución entregada por el mismo libro, quizás interpreté mal, por otra parte te reitero las gracias y el análisis que haces después de pensarlo un rato es totalmente correcto, el problema es que nunca se me hubiese ocurrido jaja Saludos