1r ciclo Expresión matemática inducción electromagnética

[leo_ro]

Hola compañeros. En un generador eléctrico se da el fenómeno en el cual el desplazamiento de un conductor en un campo magnético genera una diferencia de potencial o corriente. Pero tengo dudas cual es el fenómeno que la describe. ¿la ley de farada?

$\dst V = \oint \vec{E} d \vec{l} = \frac{\partial }{\partial t}{\int}_{s} \vec{B}. d \vec{S}$

o si es decripto por la fuerza de lorentz:

$\dst \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$

$\dst \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} = \vec{v} \times \vec{B}$

En donde para un generador: $\dst \vec{v} =\vec{\omega} \times \vec{r}$

¿o ambos? es decir, la expresión fuerza de lorentz es análoga a la ley de faraday con la diferncia en que una tienen en cuanta la fuerza y la otra los campos.

Pregunto porque en muchos libros de electromecánica cuando se analíza este efecto, algunos hacen referencia a la ley de la fuerza de lorentz y otros los analizan con respecto a la ley de faraday.

Por ejemplo una sola espira rectangular de $1 [{m}^{2}]$ con una velocidad angular de $1 {s}^{-1}$ (a 1 metro del centro de rotación) en un campo magnético continuo $\vec{B} = 1 [T] \hat{i}$ en todo el espacio.

$\dst \vec{{v}_{y}}= 1 [m {s}^{-1}] sen (t) \hat{j}$

$\dst \vec{E}=\frac{\vec{F}}{ q}= 1 [m {s}^{-1}] sen (t) \hat{j} \times 1 [T] \hat{i}$

$\dst \left\vert{} \vec{E} \right\vert{}= 1 [V {m}^{-1}] sen (t) \hat {j}$

Ahora analizado por la ley de faraday:

$\dst \phi = 1 [T] * 1 [{m}^{2}] sen (t) [Wb]$

$\dst \frac{\mathrm{d} \phi }{\mathrm{d} t}= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t } (sen (t) [Wb]) = cos (t) [Wb ({s}^{-1}]$

$\dst V = - cos (t) [Wb ({s}^{-1})]$

Como se observa son diferentes las expresiones. ¿cual debo usar si quiere conocer la tensión en los bornes del bobinado inducido? (dejando de lado las cantidades de vuelta de la bobina)

Saludos.

[Breogan]

Re: Expresión matemática inducción electromagnética

Hola:

Primero te hago un par de observaciones:

Hola compañeros. En un generador eléctrico se da el fenómeno en el cual el desplazamiento de un conductor en un campo magnético genera una diferencia de potencial o corriente. Pero tengo dudas cual es el fenómeno que la describe. ¿la ley de farada?

$\dst V = \oint \vec{E} d \vec{l} = \frac{\partial }{\partial t}{\int}_{s} \vec{B}. d \vec{S}$

El campo eléctrico producido por la variación de un campo magnético no es conservativo y no se puede definir una función potencial, por lo cual en vez de usar la letra V para designarlo usualmente se usa la letra $\varepsilon$, y aunque es usual hablar de ddp (diferencia de potencial) lo estrictamente correcto es hablar de fem (fuerza electromotriz).

o si es decripto por la fuerza de lorentz:
$\dst \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$

La expresión correcta de la fuerza de Lorentz es:

$\dst \vec{F} = q \left( \vec E + \vec{v} \times \vec{B} \right)$

La cual describe la fuerza que experimenta una carga cuando se mueve en una región del espacio donde existen tanto un campo eléctrico como un magnético.

$\dst \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} = \vec{v} \times \vec{B}$

Cuidado con esta expresión que no es general, se trata del campo eléctrico necesario en un conductor en movimiento para equilibrar la fuerza magnetica sobre los portadores libres de carga de forma de tener una situación de equilibrio estático. Esta formula sale de igualar a cero la fuerza que siente el portador de carga en el interior del conductor:

$\dst q \left( \vec E + \vec v_q \times \vec B \right) = \vec 0 \quad \Rightarrow \quad \vec E = - \vec v_q \times \vec B$

¿o ambos? es decir, la expresión fuerza de lorentz es análoga a la ley de faraday con la diferencia en que una tienen en cuanta la fuerza y la otra los campos.

Estas dos expresiones no son evidentemente equivalentes.

Ley de induccion de Faraday:



Esta ecuación relaciona la fem inducida en un camino L (no dice nada de como se distribuye esta fem a lo largo del camino, ni exige la existencia de un medio solido para la existencia del campo en el), y la variación del flujo magnético que pasa por la superficie abierta S encerrada por el camino anterior.
En cambio su forma diferencial:



nos da la información del campo eléctrico E en cualquier punto.

Fuerza de Lorentz:



Esta ecuación relaciona la fuerza que siente una partícula con carga y velocidad determinada en un espacio donde existen tanto un campo magnético como un campo eléctrico.

Las formulas anteriores son bien conocidas, y junto a otras 3 ecuaciones conforman la formulación mínima para explicar el electromagnetismo clásico.
Ya que se trata del grupo mínimo de expresiones necesarias para explicar el EM, implícitamente se esta diciendo que ninguna ecuación de este grupo es dependiente de las otras, o sea que no pueden ser deducidas de las otras ecuaciones del grupo.

Creo que las aplicaciones de estas formulas te van a dar por lo menos cuatro conjunto de situaciones:

1º Aplicaciones exclusivas de la ley de Faraday: normalmente involucra campos magnéticos variables con el tiempo en el vació, o en materiales sin portadores de carga libres.

2º Aplicaciones exclusivas de la fuerza de Lorentz: normalmente involucra partículas cargadas interactuando con campos magnéticos o eléctricos o ambos conjuntamente.

3º Aplicaciones donde tenes que usar ambas leyes en forma conjunta: normalmente involucra la interacción de partículas cargadas con campos magnéticos variables en el tiempo.

4º Aplicaciones donde el uso de una u otra ley (con los cuidados del caso) te dan el mismo resultado: usualmente cuerpos metálicos que se mueven respecto de un campo magnético fijo y constante.

Tene cuidado que esta categorización es de mi cuño, por lo cual es posible que sobre o falte algo, o que los items descritos tengan situaciones comunes entre ellos.

El punto 4º es el que en este momento es tu preocupación, y el que a mi me genera mas dudas.
Yo creo que existiendo dos explicaciones distintas de un mismo fenómeno, y ambas con resultados correctos, lo mas probable es que exista una relación fundamental entre ellas, y que no sean mas que lo mismo visto desde distinto angulo; sin embargo para los otros casos no estarían relacionados.

Intuyo que esto tiene que ver con el SR elegido (que ve el observador en dicho SR), pero realmente no estoy seguro....

Pregunto porque en muchos libros de electromecánica cuando se analíza este efecto, algunos hacen referencia a la ley de la fuerza de lorentz y otros los analizan con respecto a la ley de faraday.

Por ejemplo una sola espira rectangular de $1 [{m}^{2}]$ con una velocidad angular de $1 {s}^{-1}$ (a 1 metro del centro de rotación) en un campo magnético continuo $\vec{B} = 1 [T] \hat{i}$ en todo el espacio.

$\dst \vec{{v}_{y}}= 1 [m {s}^{-1}] sen (t) \hat{j}$

$\dst \vec{E}=\frac{\vec{F}}{ q}= 1 [m {s}^{-1}] sen (t) \hat{j} \times 1 [T] \hat{i}$

$\dst \left\vert{} \vec{E} \right\vert{}= 1 [V {m}^{-1}] sen (t) \hat {j}$

Ahora analizado por la ley de faraday:

$\dst \phi = 1 [T] * 1 [{m}^{2}] sen (t) [Wb]$

$\dst \frac{\mathrm{d} \phi }{\mathrm{d} t}= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t } (sen (t) [Wb]) = cos (t) [Wb ({s}^{-1}]$

$\dst V = - cos (t) [Wb ({s}^{-1})]$

Como se observa son diferentes las expresiones. ¿cual debo usar si quiere conocer la tensión en los bornes del bobinado inducido? (dejando de lado las cantidades de vuelta de la bobina)

Saludos.

Este problema apareció muchas veces en el foro resuelto de ambas formas, usando la búsqueda creo que lo podes encontrar, si no lo encontras lo podemos desarrollar. Te adelanto que da el mismo valor y que tus cálculos están equivocados, de movida partis de una formula parcialmente incorrecta, no tenes en cuenta que la espira tiene dos ramas en las que hay fem, no haces la integral de camino del campo eléctrico, y al final comparas dos elementos diferentes $\vec E \ y \ V$.

s.e.u.o.

Suerte

[leo_ro]

Re: Expresión matemática inducción electromagnética

Gracias Breogan por tu respuesta. Veamos el caso de un generador eléctrico porque es evidente que en el motor eléctrico la expresión que interviene es la de lorentz.

Sea un generador eléctrico de una sola espira de manera de simplificar el caso, en donde la espira tiene 1 metro cuadrado. El campo magnético es de 1[T]. y la espira se mueve de la siguiente manera: $\omega = 50[{s}^{-1}]$



Evidentemente en la imagen en esa posición el flujo es cero. El flujo es:

$\dst \phi = 1 [Wb] sen (50[{s}^{-1}] t)$

$\dst \frac{\mathrm{d} \phi }{\mathrm{d} t}= 50 cos (50 [{s}^{-1}]t) \frac{Wb}{s }$

Por ende, la fuerza electromotriz, que es la que mediremos con un tester en los bornes del generador será:

$\dst \varepsilon = - 50 cos (50 [{s}^{-1}]t) V$

Ahora siguiendo la expresión de lorentz:

La fuerza que sentirá los electrones del conductor será, suponiendo una espira cuadrada de 1 metro cuadrado por lo que la distancia del centro a conductor es 0.5[m]

$\dst v = 50 [{s}^{-1}] * 0.5 [m] = 25 [m {s}^{-1}]$

$\dst \left\vert{} \vec{F} \right\vert{}= q \vec{v} \times \vec {B} =$

$\dst \left\vert{} \vec{F} \right\vert{}= q 25 [m{s}^{-1}] . 1 [T] - cos (50 [{s}^{-1}] t)$

Como hay 2 secciones que cortarán al campo magnético :

$\dst \frac{\left\vert{} \vec{F} \right\vert{}}{q }= - 50 [N {C}^{-1}] cos (50 [{s}^{-1}] t)$

Las expresiones son iguales. Entiendo que la fuerza es para equilibrar la fuerza magnética por ende no habría corriente y sería una medición por 0, es decir, si aplicamos ese campo eléctrico no habra corriente por lo tanto hay ese campo eléctrico en el interior del conductor.