Otras carreras Cascarón cilíndrico rotando

[petitolo]

Buenas, necesito una ayudita con este problema:

Un cilindro de radio interior a y de radio exterior b esta rotando sobre su eje con una velocidad angular ω. Si el cilindro esta cargado uniformemente con una densidad volúmica ρ, encuentra J (densidad de corriente). Demuestra que el campo magnético B es cero para s > b y calcula su valor para 0 < s < a y para a < s < b.

Gracias

[Al2000]

Re: Cascarón cilíndrico rotando

Asumo que se tratará al cilindro como si fuese muy largo, pues de lo contrario el campo magnético en el exterior no sería nulo.

Divide el cilindro en anillos. Si el eje del cilindro es el eje Z y tomas un anillo de radio $r$, grosor $dr$ y altura $dz$, el volumen del anillo es $dv = 2 \pi r \;dr \; dz$ y por lo tanto porta una carga $dq = \rho \; dv = 2 \pi \rho r \;dr \; dz$. Esa carga gira en torno al eje en un período $T = 2 \pi/\omega$ y representa una corriente $di = dq/T = \omega \rho r \;dr \; dz$. La densidad de corriente será un vector tangente a la trayectoria circular que siguen las cargas y de magnitud $\dst j = \frac {di} {dA} = \frac {di}{dr\;dz} = \omega \rho r$.

Para las otras preguntas, usa la ley de Ampère similarmente a como determinas el campo de un solenoide ideal.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[petitolo]

Re: Cascarón cilíndrico rotando

Gracias Al

- - - Actualizado - - -

Podrias indicarme como seria una de las integrales? ando divagando...

[Al2000]

Re: Cascarón cilíndrico rotando

Léete en un libro cómo funcionan las corrientes solenoidales de manera que puedas justificar que el campo magnético en el exterior del tubo de corriente es nulo y que en el interior del tubo el campo magnético debe ser paralelo al eje (considerando infinita la longitud del tubo). Aplica la ley de Ampère a una trayectoria rectangular que tenga dos de sus lados paralelos al eje del cilindro, uno en el interior y otro en el exterior. La circulación magnética en los segmentos perpendiculares al eje será cero (por ser perpendiculares al campo) y en el segmento exterior será cero pues el campo es nulo; quedaría solamente el segmento interior, paralelo al campo (constante) y digamos que tiene longitud $h$:

$$\Lambda_B = \oint_C \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell = B h$$

La corriente encerrada por la trayectoria $C$ será la existente en un segmento de longitud $h$ del tubo:

$$i = \int_S \boldsymbol j \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{a}^{b}\!\! (\omega \rho r)(h\,dr) = \frac 1 2 \omega \rho h (b^2 - a^2)$$

Entonces el campo en el interior vale:

$$\Lambda_B = \oint \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \mu_0 i \quad \Rightarrow \quad B h = \frac 1 2 \mu_0 \omega \rho h (b^2 - a^2)$$

$$B = \frac 1 2 \mu_0 \omega \rho (b^2 - a^2), \quad 0 \leqslant r \leqslant a$$

Sigue un procedimiento similar para determinar el campo en la región $a \leqslant r \leqslant b$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$