Otras carreras Ayuda problema electrostática

[elevic]

Buenas a todos.

Tengo dudas acerca de este problema de electrostática, y esperaba que alguien me pudiera ayudar. El caso es que lo he resuelto, pero me da un resultado ligeramente distinto a las soluciones. Por más que he buscado no he encontrado ningún fallo, y me ayudaría bastante si alguien pudiera echarle un ojo y decirme si lo he resuelto bien o mal. Muchas gracias. El problema dice así:

Un conductor esférico hueco de radio interior ${R}_{1}$ y radio exterior ${R}_{2}$ tiene una carga $Q$ . En el centro del conductor se encuentra una carga $q$. El conductor está rodeado por un dieléctrico de permitividad relativa ${\varepsilon}_{r}=\alpha r$, donde $\alpha$ es una constante, siendo sus radios interior y exterior ${R}_{2}$ y ${R}_{3}$, respectivamente. Suponiendo que el potencial electrostático es nulo en el infinito, determinar $V({R}_{1})$.

Al ser un conductor, he supuesto que en la superficie interior se distribuye uniformemente una carga $-q$, para que el campo eléctrico dentro del conductor sea 0, y en la superficie exterior se distribuye una carga $q+Q$. Entonces, si no me equivoco, el potencial en ${R}_{3}$ debería valer $V({R}_{3})=\frac{1}{4\pi {\varepsilon}_{o}}\frac{q+Q}{{R}_{3}}$. En la zona entre ${R}_{2}$ y ${R}_{3}$ el módulo del campo eléctrico debería valer $E=\frac{1}{4\pi {\varepsilon}_{0}{\varepsilon}_{r}}\frac{q+Q}{{r}^{2}}$, y, sustituyendo la expresión relativa quedaría $E=\frac{1}{4\pi \alpha {\varepsilon}_{0}} \frac{q+Q}{{r}^{3}}$. Aplicando la definición de potencial me queda que $dV=-\frac{q+Q}{4\pi \alpha {\varepsilon}_{0}} \frac{dr}{\frac{r}{3}}$. Integrando esta última expresión desde ${R}_{3}$ a ${R}_{2}$ me queda que $V({R}_{2})-V({R}_{3}) = \frac{q+Q}{8\pi {\varepsilon}_{0}\alpha}*(\frac{1}{{{R}_{2}}^{2}}-\frac{1}{{{R}_{3}}^{2}})$ . Teniendo en cuenta que, por ser un conductor, $V({R}_{1})=V({R}_{2})$, y que $V({R}_{3})$ ya lo habíamos hallado, quedaría resuelto el problema.

[Snajdan]

Re: Ayuda problema electrostática

Yo lo resolvería así:

Calcularía el campo eléctrico en todo el espacio, te quedaría un campo de R3 a infinito (E3), otro de R2 a R3 (E2) (calculando D y despues E xq hay dieléctrico), y otro de R1 a R2(E1), despues calculas la diferencia de potencial entre R1 e infinito integrando los campos

$VR1-V\infty= -\left (\int E1 \dd l +\int E2 \dd l +\int E3 \dd l\right)$ (la primer integral de R2 hasta R1, la segunda de R3 hasta R2 y la tercera de infinito hasta R3)

Saludos.