Divulgación Una consulta

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Hola, una consulta. Cuando una onda se propaga en el vacío varios campos ondulan juntos, por ejemplo eléctrico, magnético, los potenciales escalar y vectorial, etc. Me interesa el desplazamiento, que es un campo más, con tanto derecho a ondular como los otros. ¿ Alguien ha analizado alguna vez la onda de desplazamiento y hecho los cálculos pertinentes para el vacío ? ¿ Admite la ecuación de onda de desplazamiento, en ese medio, la solución exponencial compleja ? En caso afirmativo, ¿ alguien ha hecho o leido el desarrollo correspondiente, calculando propiedades como divergencia y rotor para esa solución ? Tengo esta inquietud porque hoy se admite sin pruritos que el vacío es polarizable. Saludo cordial.

[Julián]

Re: Una consulta

¿ Alguien ha analizado alguna vez la onda de desplazamiento y hecho los cálculos pertinentes para el vacío ?

Si te refieres al vector desplazamiento D

Tal que $\varepsilon E = D - P$

En el vacio no hay polarización$\varepsilon E = D$

Asi que la oscilación de E es la misma que la de D, una constante los diferencia. Es más podés encontrar la ecuación de onda para D

$\dst \nabla \times \vec{H} = J + \frac{\partial D}{\partial t}$

como estamos hablando del vacio

$\dst \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

$\dst \nabla \times \vec{D} = - \mu \varepsilon\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$

$\dst\nabla \times \nabla \times \vec{D} = - \mu \varepsilon\nabla \times \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$

$\dst {\nabla}^{2} \vec{D} = - \mu \varepsilon \frac{{\partial}^{2} \vec{D}}{{\partial t}^{2}}$

Tengo esta inquietud porque hoy se admite sin pruritos que el vacío es polarizable

La polarización del vacio es un tema cuántico, que conlleva a pares partícula-antipartícula virtuales y fotones virtuales. En cambio la onda EM descripta anteriormente corresponde a un campo en la cual hay interferencia de fotones reales dando el como resultado el vector desplazamiento.

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Re: Una consulta

Gracias Julián por tu respuesta. La inquietud vino de una charla más o menos en estos términos :


1. Denominamos vacío a un medio que tiene permitividad y permeabilidad distintas de cero.


2. Permitividad podrá ser muchas cosas, pero tiene dimensiones de capacidad por unidad de longitud.


3. Las dimensiones de la permeabilidad son inductancia por unidad de longitud.


4. Puedo declarar que clásicamente el vacío es absolutamente inactivo, que está despojado de toda constitución física, que las dimensiones de $\epsilon_0$ y de $\mu_0$ son relleno matemático puro, tomarme una cerveza e irme a casa. Y es lo que siempre hice, hasta tener esa charla.


5. También puedo rechazar la idea del vacío inactivo, sin salir de la electrodinámica clásica, argumentando que esa unidad de longitud interviniente en $\epsilon_0$ y en $\mu_0$ pertenece al vacío. En ese caso no podré obviar el hecho físico de un medio que, por corresponderle capacidad e inductancia, participa en los fenómenos activamente.


6. Dado que la única función de las placas materiales en un capacitor y del alambre en una bobina es mantener estable la configuración geométrica del sistema de cargas, asociadas con los campos eléctrico y magnético, no se requieren placas materiales ni alambres para tener en el vacío capacidad e inductancia bien definidas. Sólo se requieren cargas. El problema es que no pueden esas cargas corresponder a partículas que posean masa en reposo. Adiós electrones, positrones, etc. Pero justamente la electrodinámica clásica fue fundada sin postular electrones ni partículas análogas, que fueron descubiertas después e incorporadas al cuerpo teórico por Lorentz y otros, retoccando la teoría original.


7. Ese empecinamiento de interpretar a $\epsilon_0$ y a $\mu_0$ como propiedades físicas por unidad de longitud exige suponer que el vacío clásico es polarizable y que, efectivamente, se polariza participando en la propagación de la onda. En ese caso el vector desplazamiento tendrá básicamente dos componentes, una que es $\epsilon_0 \vec{E}$ y otra la polarización $\vec{P}$ .


8. Si el empecinamiento físico exige suponer cargas sin masa en reposo presentes en el vacío, $\vec{P}$ debe ser longitudinal para tener divergencia distinta de cero y dar una densidad de carga en la región de propagación.


9. Si el desplazamiento ha de tener una componente transversal $\epsilon_0 \vec{E}$ y otra longitudinal $\vec{P}$, sin dejar de cumplir la ecuación de onda, entonces estamos pensando en una solución compleja de esa ecuación, como la solución exponencial, que por la identidad de De Moivre da las dos componentes necesarias.


Eso es lo que fue planteado en la charla por quienes no quieren admitir que $\epsilon_0$ y $\mu_0$ son rellenos puestos para lograr la coherencia dimensional del sistema de ecuaciones. Por eso pregunté si alguien había desarrollado o leido algo respecto a la solución compleja de la onda de desplazamiento.

[Julián]

Re: Una consulta

Puedo declarar que clásicamente el vacío es absolutamente inactivo, que está despojado de toda constitución física, que las dimensiones de y de son relleno matemático puro, tomarme una cerveza e irme a casa. Y es lo que siempre hice, hasta tener esa charla.

Es una duda entendible lo que tienes, me refiero a la manera en que los libros y también los profesores (que seguramente por desconocimiento) encaran la didáctica.

Sin entrar en temas cuánticos, en especial en mecánica cuántica de campos en donde se demuestra que el vacio tiene un nivel minimo de energía y que emergen pares de partículas de partículas virtuales sin violar las leyes de la conservación de la energía y momento debido al principio de incertidumbre. Es decir, el vacio analizandolo desde el punto de vista de la electrodinámica clásica está vacio y que las constantes del vacio $\varepsilon$ y $\mu$ efectivamente son arreglos matemático. Lo que si existen son los campos E y B en el vacio y la relación entre estos en una onda E = cB.

Antes se utlizaba el sistema de medidas cgs. En donde se definia a la permitividad eléctrica como 1. La carga eléctrica se mide en statcolumb de manera tal que la fuerza entre dos cargas de 1 statcolomb es

$F= \frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{r}^{2}}$ Como observás no hay constante de proporcionalidad, ya que el statcoulomb es${g}^{1/2} {cm}^{3/2} {s}^{-1}$

¿Cual es el inconveniente de no definir una constante de proporcionalidad? Si que mejor para operar en electroestática si tener que meter el $\varepsilon$. Porque como descubrió maxwell la relación entre el campo eléctrico y el magnético es proporcional a la velocidad de la luz. Así que la fuerza entre 2 conductores que conducen corriente será:

$\frac{F}{l}= \frac{1}{{c}^{2}} \frac{{i}_{1}{i}_{2}}{r}$ Valores excesivamente chico.

El sistema cgs electromagnético se define como 1 la constante de proporcionalidad para la fuerza entre 2 conductores:

$\frac{F}{l}= \frac{{i}_{1}{i}_{2}}{r}$

Por lo que $F= \frac{1}{{c}^{2}} \frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{r}^{2}}$

Asi que el sistema internacional lo que hiso es definir el amperio como la fuerza sobre unidad de longitud entre 2 conductores infinitos de sección despreciables separados por 1 metro como 2*{10}^{-7} N . Entonces

$2*{10}^{-7} N /m = k \frac{1[A] 1[A]}{[m]}$

No queda que $k= \mu / (2 \pi)$ lo que implica que $\mu = 4 \pi *{10}^{-7}$

Y como la relación entre los campos es c

$c = 1 / (\sqrt {\mu \varepsilon})$ de ahi se obtiene $\varepsilon$

Así que lo que existe son los campos y la relación entre estos que es la velocidad de la luz.

Si el desplazamiento ha de tener una componente transversal y otra longitudinal , sin dejar de cumplir la ecuación de onda, entonces estamos pensando en una solución compleja de esa ecuación, como la solución exponencial, que por la identidad de De Moivre da las dos componentes necesarias.

Es así, el campo eléctrico es

$\nabla . \vec{E} = \frac{q}{\varepsilon}$

q puede ser cargas libres o fijas (de polarización)

$\dst \nabla . \varepsilon \vec{E} ={q}_{l} + {q}_{f}$

$\nabla . \varepsilon \vec{E} = \nabla . \vec{D} - \nabla . \vec{P}$

por lo que $\nabla . \vec{D} = {q}_{l}$

Es decir la divergencia de D nos da la cantidad de carga libre en ese volumen asi como la divergencia de P nos da la cantidad de cargas de polarización y la divergencia de E las cargas libres y las cargas de polarización según el medio.

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Re: Una consulta

Intentaré aprovechar un poco más tu aporte. En algunas situaciones $\epsilon$ no es constante ni es número real (puede ser un complejo e incluso un tensor). ¿ Se puede en esos casos seguir suponiendo que su función única es dotar de coherencia dimensional al sistema de ecuaciones ? Obviamente, lo mismo pregunto respecto a $\mu$ .

[Julián]

Re: Una consulta

$\varepsilon$ no es constante debido a que no es un medio isotrópico y debe ser tratado como un tensor, en ese caso los valores de E y P varían debido a las cargas fijas de polarización y como $D = \varepsilon E + x \varepsilon P$ D también tiene diferentes valores en el medio.

Cuando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es un número complejo es con un medio con conductividad y se podría decir que es un arreglo cuando se analiza a las ondas con el diagrama fasorial.

$\nabla . \vec {B} = \mu J + \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

En el diagrama fasorial:

$\nabla . \vec {B} = \mu J + j \mu \varepsilon \omega \vec{E}$

$\nabla . \vec {B} = \mu \sigma \vec{E}+ j \mu \varepsilon \omega \vec{E}$

$\nabla . \vec {E} = - j \omega \vec{B}$

${\nabla }^{2} \vec {E} = - j \omega (\mu \sigma \vec{E}+ j \mu \varepsilon \omega \vec{E})$

${\nabla }^{2} \vec {E} = - j \omega \mu \sigma \vec{E}+ \mu \varepsilon {\omega}^{2} \vec{E})$

${\nabla }^{2} \vec {E} = \mu {\omega}^{2} ( - j \frac{ \sigma}{\omega } + \varepsilon ) \vec{E})$

$\varepsilon ' (\omega) =\varepsilon( - j \frac{ \sigma}{\omega \varepsilon} + 1)$

${\nabla }^{2} \vec {E} = {\omega}^{2} \mu \varepsilon ' \vec{E})$

No sería en sí la permitividad eléctrica sino un arreglo que expresa como varía el campo en función de la conductividad y permitividad y a su vez de la frecuencia. Para un medio con conductividad a mayor frecuencia menor disminución y desfase de E. Es decir, la permitividad compleja varía según la frecuencia y un medio con conductividad puede ser un dieléctrico o un conductor según la frecuencia de la onda. La tierra es un conductor a frecuencias bajas, el agua de mar que tiene mayor conductividad es dieléctrico a frecuencias mucho más elevadas y el cobre con una conductividad de $58.108*{10}^{6}$ empieza a ser un dieléctrico y dejar de ser conductor a $5.40*{10}^{16} [Hz]$. Es decir, para el ultravioleta empieza a dejar de ser conductor el cobre y la onda empieza a pasar por el material.

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Re: Una consulta

Muchas gracias Julián. Saludo cordial.