1r ciclo Espira cuadrada

[rrrto2005]

Se tiene una bobina cuadrada de altura h y aristas a, con sus arista paralelas a los ejes x e y. La bobina además tiene N vueltas, y se mueve con velocidad constante $v=v_0 \vec{y}$ (a lo largo del eje y) y pasa a través de un campo magnetico externo $\vec{B}=B_0*(y/L) \vec{z}$ perpendicular a la superficie, donde $L$ y $B_0$ son constantes. Si el cable de la bobina tiene una resistencia R, determine:

a) La corriente que circula por la bobina
b) La fuerza y el trabajo por unidad de tiempo que se debe realizar sobre la bobina para que se mueva a velocidad $v=v_0 \vec{y}$

La parte a lo he hecho así:

$\Phi = \oint_S \vec B \cdot \vec dS =\int_{0}^{y} \int_{0}^{a} B_0*(y/L) dx dy= B_0*a*(y^2/(2*L))$

Y luego con el flujo magnético calculo la fem $\mathcal{E}=-\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}=-\displaystyle\frac{d (B_0*a*(y^2/(2*L)))}{dt}=(-B_0*a*v_0)/L$
y finalmente uso $I= \mathcal{E}/R$ y obtengo la corriente. Estoy en lo correcto?

Y alguna ayuda para la parte b? no se ocurre cómo calcular la fuerza

[Al2000]

Re: Espira cuadrada

Tienes un error en la derivada del flujo, te "comiste" una $y$. Puedes comprobar que el resultado que estas obteniendo es dimensionalmente inconsistente. También presumo que donde pusiste $v = v_0 \vec y$ quisiste poner $\vec v = v_0 \hat y$, pues de lo contrario la "velocidad" que pones no tiene dimensiones de velocidad.

El problema no se puede resolver si no se especifica la coordenada $y$ en donde la bobina penetra el campo. Tal como has escrito la integral, el campo existiría en $y \geqslant 0$ y la bobina inicialmente se encuentra en la región $y<0$. Aparentemente nos estás escamoteando alguna información, probablemente un gráfico.

Otro error es no haber tomado en cuenta el número de vueltas de la bobina, el cual te aparecerá como un multiplicador a la hora de calcular la fem inducida.

Una vez que tengas la corriente, la fuerza necesaria para que la bobina se mueva con velocidad constante la obtienes igualando con la fuerza magnética sobre la bobina, que "intenta" detener la bobina de modo que el agente externo deberá compensarla.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[rrrto2005]

Re: Espira cuadrada

Ah supongo que toda la bobina está completamente metida en el campo magnético. Pero en ese caso lo límites de integración sería de 0 a a y el flujo no sería constante? No entiendo la verdad muy bien este parte.

Lo otro es cómo utilizo las vueltas de la bobina? No entiendo cómo y dónde podría considerarlo.

Tienes razón con lo de la velocidad, me equivoqué al escribir el ejercicio.

Gracias por ayudarme con el ejercicio.

[Al2000]

Re: Espira cuadrada

Si el campo fuese uniforme y la bobina se encontrase completamente en el campo, el flujo sería constante y la fem inducida sería cero. Pero en este caso el campo no es uniforme y el movimiento de la bobina induce una fem. Por eso te insisto en que la solución depende de la configuración espacial del campo y la posición inicial de la bobina.

Usando como ejemplo la situación que planteas, si el campo existiese en todo el espacio y la bobina en cierto momento estuviese entre las coordenadas $y$ y $y+a$, entonces tu integral para hallar el flujo sería:

$$\Phi = \oint_S \vec B \cdot d \vec S =\int_{y}^{y+a} \int_{0}^{a} B_0 (y/L)\, dx dy= \frac {B_0 a}{2 L} [(y+a)^2 - y^2] = \frac {B_0 a}{2 L} (2 a y+a^2)$$

y habría una fem inducida distinta de cero.

Con respecto a tu duda con el tratamiento de $N$, la fem inducida que calculaste es la que aparece en una espira. Al tener $N$ vueltas, tendrás una fem inducida $\dst \mathcal E = - N \frac {d \Phi }{dt}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[rrrto2005]

Re: Espira cuadrada

Tienes razón, gracias por ayudarme!!